1、1课 题： 第 12 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 dcba,均为实数，则 222)()(cba，其中等号当且仅当 d时成立。证明：几何意义：设 ， 为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ ba,） ，B（dc,） ，那么它们的数量积为 bdac，而 2|ba， 2|，所以柯西不等式的几何意义就是：
2、 |，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、 定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 |，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、 定理 3：（三角形不等式）设 321,yxyx为任意实数，则： 2312312322121 )()()()()()( yxyx 分析：2思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、 定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 n为大于 1 的自然数， iba,（ 1，2 ， n）为任意实数，则： 2112)(niinii baa，其中等号当且仅当 nb21时成立（当 0ia时，约定
3、0ib， 1，2， ） 。证明：构造二次函数： 2221 )()()() nbxabxaxf 即构造了一个二次函数： iniinif 1211由于对任意实数 x， 0)(f恒成立，则其 0，即： )(4(41221niinii baba，即： )()(1221niinii，等号当且仅当 02nbxabxa ，即等号当且仅当 nb21时成立（当 i时，约定 0ib， i1，2， n） 。如果 ia（ n）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设 ),2,1(0,nibRai iiiba212)( ，等号成立当且仅当aii3变式 2 设 ai，b i 同号且不为 0（i=1
4、，2，n） ，则： ini ba21)(，等号成立当且仅当nb21。二、典型例题：例 1、已知 12ba， 12yx，求证： 1|byax。例 2、设 Rdcba,，求证： 2222 )()(dbcadcba。例 3、设 ,为平面上的向量，则 | 。例 4、已知 cba,均为正数，且 1cba，求证： 91cba。方法 1：方法 2：（应用柯西不等式）4例 5：已知 1a， 2， na为实数，求证： 2112)(nini a。分析：推论：在 n个实数 1a， 2， na的和为定值为 S 时，它们的平方和不小于 21Sn，当且仅当a21时，平方和取最小值 21。三、小结：四、练习：1、设 x1，
5、 x2， ， xn 0, 则 11nxxniinii2、设 Ri（i=1，2 ， ，n）且 1iix 求证: njijni xx123、设 a 为实常数,试求函数 )cos(s)(axf (x R)的最大值4、求函数 bxfsin)(在 2,0上的最大值 ,其中 a， b 为正常数5五、作业：1、已知： 12ba， 22nm,证明： 2bnam。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若 Rzyx,，且 zyx=a， 22zyx= 1 )0(，求证： zyx, 都是不大于a3的非负实数。证明：由 yxaz 代入 22zyx= 1a可得 0)()(2 Rx 0 即 021)(842a
6、yya化简可得 ： 023y 0 3同理可得： ax0 ， az32由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设 ab 为不相等的正數，试证：(a b)( a3b 3)(a 2b 2)2。4、设 x，y ，z 为正实数，且 x+y+z=10，求 z9y1x4的最小值。5、设 x，y ，zR，求 22zyx的最大值。67、设三个正实数 a,b,c 满足 )(2)( 442cbacba，求证： a，b，c 一定是某三角形的三边长。8、求证 )3(n个正实数 a1， a2， ， an 满足 )() 442121 nn aa 9、已知 Rzyx,且 x 求证: 12zyx。10、设 , 求证: 222 xzyz 。11、设 Rzyx,且 x+2y+3z=36,求 x31的最小值
