1、 1三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 12:Sab夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比DCBA
2、bas2s12二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 = 23146三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） S1S 2=S4S 3 或者 S1S3=S2S4 AO OC=（S 1+S2）（S 4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） S1S 3=a2b 2S 1S 3S 2S 4= a2 b2ab ab ; S 的对应份数为（a+b ） 2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；S4S3s2 s1ODCBAS4S3s2s1ba
3、3两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。hhHcbaC BAacbHCBA; abchABCH S1S 2=a2A 2 模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE ：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】41. 三角形面积等高成比 2. “鸟头定理” 3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ）如图，长方形 ABCD的面积是 56平方厘米，点 E、F、G 分
4、别是长方形 ABCD边上的中点，H为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例 2】 （难度等级 ）如右图，ABFE 和 CDEF都是矩形，AB 的长是 4厘米，BC 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【例 3】 （难度等级 ）如图，在三角形 ABC中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为AB和 AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【例 4】 （难度等级 ）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F 是 AD的中点，延长 CF交 AB边于 E,求三角形 AEF和三角形 CDF的面积之和。GH F E DCBAF ED CBAFAB CDE
5、5【例 5】 （难度等级 ）如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形 AED的面积是三角形 ABC314面积的几分之几？【例 6】 （难度等级 ）如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【例 7】 （难度等级 ）如图，在长方形 ABCD中，Y 是 BD的中点，Z 是 DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8 厘米，求三角形 ZCY的面积【例 8】 （难度等级 ）如图，正方形 ABCD的边长为 4厘米，EF 和 BC平行， ECH的面积是 7平方厘米，求 EG的长。DE CBAG F E D CBAYZD CBAHG FEDCBA6【例 10】 （难度
6、等级 ）如图已知四边形 ABCD和 CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的边长为 10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米? 【例 11】 （难度等级 ）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【例 12】 （难度等级 ）如图，平行四边形 ABCD周长为 75厘米，以 BC为底时高是 14厘米；以 CD为底时高是 16厘米。求平行四边形 ABCD的面积。【例 13】 （难度等级 ）如右图，正方形 ABCD的边长为 6厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积.123223dcbaxAB C
7、DEFFEDCBA7【例 14】 （难度等级 ）如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分） 、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【例 15】 （难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，AOB 面积为 1平方千米，BOC 面积为 2平方千米，COD 的面积为 3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例 16】 （难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?89【作业】1. 如图，三角形 中， ， ，三角形ABC2D3CEAADE
8、的面积是 20平方厘米，三角形 的面积是多少？B2. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13， 35， 49那么图中阴影部分的面积是多少？3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米， 求三角形ABC 的面积。4. 如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD的面积是 2， 求平行四边形 ABCD与四边形 EFGH的面积比. 5. 如图，在ABC 中，延长 BD=AB，CE= BC，F 是 AC的中点，12若ABC 的面积是 2，则DEF 的面积是多少？ED CBAHGFED CBA FEDC
9、BA10【例 1】 （难度等级 ）如图，长方形 ABCD的面积是 56平方厘米，点 E、F、G 分别是长方形 ABCD边上的中点，H为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】 如右图，连接 BH、 HC，由 E、 F、 G 分别为AB、 BC、 CD 三边的中点有AE=EB、 BF=FC、 CG=CD.因此 S1=S2， S3=S4， S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积= S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为 28.【例 2】 （难度等级 ）如右图，ABFE 和 CDEF都是矩形，AB 的长是 4厘米，BC
10、 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【分析与解】 上排 4 个阴影三角形的高都等于 BF，底边之和恰好为 AB，他们的面积之和为 ；下排 4 个三角形的高都等于 CF，底边之和恰好为 CD，他们12BFA的面积之和为 .所以阴影部分面积为:CD(平方厘米).1134622BFABCA【例 3】 （难度等级 ）如图，在三角形 ABC中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为AB和 AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先， 平方厘米，而 F 是 AC 中点，124ABCSD所以 .又 E 是 AB 中点，所以 平方厘米. 2F 1624EBABFABCSS F ED CBA
