1、第三章习题一解答一、求下列集合的幂集 1、杨,李,石 解：P(杨,李,石) = , 石,李,石,杨,杨,石,杨,李,杨,李,石 2、1,2,2,1,1,2,1,1,2 解：原集合=1,2,2,1,2,1=1,2，只含一个元素，故其幂集只有 2 个元素：P=,1,2 二、利用包含排斥原理，求解以下各题。 1、对 60 人调查，25 读 每周新闻 ，26 读时代 ，26 人读财富 ，9 人读每周新闻和财富 ，11 读每周新闻和时代 ，8 人读时代与财富 ，还有 8 人什么都不读，请计算： (1) 阅读全部三种杂志的人数。 (2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。 解：记 A=每周新闻的
2、读者，B=时代的读者，C=财富的读者。 由于 8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |ABC|=52。已知 |A|=25，|B|=26，|C|=26 |AC|=9，|A B|=11 ，|B C|=8 （1）由包含排斥原理可知 |ABC|=|A|+|B|+|C|-|AC|-|AB|-|B C|+| A B C| ，故 52=25+26+26-9-11-8+| ABC|，即有 | AB C|=3 ， 所以同时读三种杂志的人为 3 人。 （2）注意到 |ST| = |S|-|ST|，故只读每周新闻的人数为： |)()(|)(|)(| CABACBAC=|A|-|AB|-|AC|+| AB C
3、|=25-9-11+3=8 ； 只读时代人数为： |B|-|BA|-|BC|+| ABC|=26-11-8+3=10 |； 只读财富的人为： |C|-|CA|-|CB|+| AB C|=26-9-8+3=12 。 |C2、某班 25 个学生，14 人会打篮球，12 人会打排球，6 人会篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有 2 人会打这三种球，已知 6 人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。解：先求出会打球的人，25-会打球的人= 不会打球的人。 |篮|=14, |排|=12, |篮排|=6, | 篮网|=5, |篮排 网|=2 ，|网|=6 ， 又 6= |网(篮 排)| = |网篮|+
4、|网排|-| 网篮排|,故 5+ |网排|-2=6 ， 故 | 网排|=3, 由包含排斥原理可知会打球的人数为 |篮排 网|=|篮|+|排|+| 网|-|篮排|-|篮网|-| 排网|+|篮排网| =14+12+6- 6- 5-3+2=20， 故不会打球有 5 人。 3、在 1 到 300 的整数中（1 和 300 包含在内） ，分别求满足以下条件的整数个数： (1) 同时能被 3，5，7 整除； (2) 不能被 3 和 5 整除，也不能被 7 整除的数； (3) 可以被 3 整除，但是不能被 5 和 7 整除； (4) 可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除； (5) 只被 3,5,7
5、中一个整除的数； 解：用 A3 表示 1 到 300 中能被 3 整除的数的集合，A 5 表示 1 到 300 中能被 5 整除的数的集合，A 7 表示 1 到 300 中能被 7 整除的数的集合。 则有 |A3|=300/3=100， |A5|=300/5=60 ，|A 7|=300/7=42；| A3A 5 |=300/15=20， | A3A 7|=300/21=100/7=14，| A5A 7|=300/35=60/7=8， | A3A 5 A7|=2。 | A3A 5A 7| = |A3|+| A5|+|A7|-|A3A 5|-|A3A 7|-|A5A 7|+|A3A 5A 7|=1
6、00+60+42-20-14-8+2 =162 (1) 同时能被 3，5，7 同时整除的数的个数为 | A3A 5A 7|=2；(2) 不能被 3 和 5 整除，也不能被 7 整除的数的个数为 | A3A 5A 7|=300- | A3A 5A 7| =300-162=138；(3) 注意到 |AB| = |A|-|AB|，故可被 3 整除但不能被 5 和 7 整除的数的个数为 | A3A 5A 7| = | A3(A 5A 7)| = | A3 |-| (A3A 5)(A 3A 7)|=| A3 |-| A3A 5|-| A3A 7|+| A3A 5A 7|=100-20-14+2=68;
7、(4) 可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除的数的个数为 | (A3A 5)A 7| =| (A3A 7)(A 5A 7)| =| A3A 7|+| A5A 7|-| A3A 5A 7| =(| A3|-| A3A 7|)+ (| A5|-| A5A 7|)-(| A3A 5|-| A3A 5A 7|)= (100-14)+(60-8)-(20-2)=120; (5) 只被 3,5,7 中一个整除的数的个数分别为 只被 3 整除的数：| A 3|-| A3A 5|-| A3A 7|+| A3A 5A 7|=100-20-14+2=68； 只被 5 整除的数：| A 5|-| A5A 3
8、|-| A5A 7|+| A5A 3A 7|=60-20-8+2=34 ；只被 7 整除的数：| A 7|-| A7A 3|-| A7A 5|+| A7A 3A 5|=42-14-8+2=22。 4、求 1120 之间的素数。 提示：采用筛选法求不超过 120 之间的素数。由 120121，故 11，只要去120掉 2,3,5,7 的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。解：令 A2，A 3，A 5，A 7 分别为 1120 范围内能被 2，3，5，7 整除的数的集合，则1120 中去除 2,3,5,7 的整倍数后所剩的数的个数为| A2 A3A 5A 7| = 120- | A2A
9、3A 5A 7| 。由于 |A2|=120/2=60，|A 3|=120/3=40，|A 5|=120/5=24，|A 7|=120/7=17；|A2 A3|=120/6=20， |A2A 5|=120/10=12， |A2A 7|=120/14=60/7=8， |A3 A5|=120/15=40/5=8 ， |A3A 7|=120/21=40/7=5， |A5A 7|=120/35=24/7=3； |A2A 3 A5|=120/(2*3*5) =4 ，|A 2A 3A 7|=120/(2*3*7) =2 ，|A3A 5 A7|=120/(3*5*7) =1， |A2A 5A 7|=120/(
10、2*5*7) =1； |A2A 3 A5A 7|=120/(2*3*5*7) =0 ；所以| A2A 3A 5A 7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 ，故 1120 中去除 2,3,5,7 的整倍数后所剩的数的个数为 120-93=27。但这不是素数的个数，因为去除倍数时还去除了 2,3,5,7 的一倍，这本是不该去掉的，应当补回来，而这剩下的 27 个数中 1 不是素数，应该去掉故素数的总数应当是27+4-1=30 。 5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被 4、5、6
11、整除的数有多少个？ 解：设 A4, A5, A6 分别表示 110000 范围内被 4,5,6 整除的数的集合，则要求的数的个数为(注意分母中的是最小公倍数 )： |10| 654654 A=10000 (10000/4+10000/5+10000/6)(10000/20+10000/12 10000/30)10000/30=10000(2500+2000+1666)(500+833+333)+166=10004666=53346、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数的立方的数有多少？ 解：设 A=x2 | 1 x210000，B=x
12、3 | 1 x310000，则要求的数的个数为.983170 )42( )100 |0| 63BABA7、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）有多少个整数包含了 1，2，3 和 4。 解：设 A1, A2, A3, A4 分别表示 110000 范围内含 1,2,3,4 的数的集合。（1）如果将题意理解为要求整数只含有 1,2,3,4 之一时，则要求的数的个数为。|0| 43214321 A而 为 110000 内不含 1,2,3,4 的数的个数，这相当于用六个数字| 43210,5,6,7,8,9 去填四个空格的方案数。用排列组合中的乘法法则知，共有种不同填法，但其中一种填法 0000 不合要求，故符合要求的填法有129661296-1=1295 种。故题目的解为 100001295=8705.（）如果将题意理解为要求整数同时含有 1,2,3,4 时，显然 110000 范围内只有四位数同时含有 1,2,3,4，且 1,2,3,4 每个数只可能出现一次，即这样的四位数只能是 1,2,3,4 的排列。所以，共有 4!=24 个。
