1、1线性代数综合练习题（一）一、单项选择题 1. 对于 阶可逆矩阵 ， ，则下列等式中（ ）不成立.nAB(A) (B) 11B)/1()/(1BA(C) (D) 2. 若 为 阶矩阵，且 ，则矩阵 （ ）.An03A1)(E（A） （B） （C） （D） 2E22A2AE3. 设 是上（下）三角矩阵，那么 可逆的充分必要条件是 的主对角线元素为（ A）.(A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制4. 设 ， ， ，3)(ijaA13123132aa10P，那么（ ）.102P（A） （B） （C） （D） 2PA12 BAP21 BAP125. 若向量组 线性相关，则
2、向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示.m,1（A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若 ，其秩 （ ）.210534)(AR（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7. 若方程 中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）.bX（A） 必有无穷多解 （A ） 必有非零解 0X（C） 仅有零解 （D） 一定无解08. 若 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） 124T9. 若满足条件（ ） ，则 阶方阵 与 相似.nB（A） （B） （C） 与 有相同特征多项式 )(RAA（D） 与 有相同的特征值且 个特
3、征值各不相同二、填空题1. 若向量组 线性无关，则向量组 是线性 .321,3212,22. 设 为 4 阶方阵，且 ， 是 的伴随阵，则 的基础解系所含的解A3)(AR 0XA向量的个数是 .3. 设 为 阶正交阵，且 ，则 .n04. 设 ， ， 线性相关，则 .2,115,k1,63k5. 设 ，则 .3054A1)(EA6. 设三阶方阵 有特征值 4，5，6，则 ， 的特征值为 TA， 的特征值为 .1三、计算题1. 计算行列式baba2. 已知矩阵 ，求 .201A10A3. 设三阶方阵 满足 ，其中ii)3,(， ， ，求 .T),1(T1,2T)2,1(A4. 取何值时，非齐次线
4、性方程组1605321xx（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设 为 阶可逆阵， .证明 的伴随阵 .AnEA2 A2. 若 ， 都是 阶非零矩阵，且 .证明 和 都是不可逆的.B0B线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D二、填空题1. 无关； 2. 3 ； 3. 1 ； 4. 3 ；35. ； 6. 120 ， 4，5，6 ， .10321 6154,三、计算题1. 解： babaab0. 40ab2. 解：先求 的特征值，A=201E)1(3)(， ,3,
5、21当 时，由 得， 的对应于 2 的特征向量是 ， 10)(XEAA10当 时，有 得， 的对应于 的特征向量是 ，32)3( 302当 时，有 得， 的对应于 的特征向量是 ， 120)(XEAA113取 . . 10021,23令 ，则 ，所以321,P 1321APT4. TPA101032 10102102)3()(3. 解：因为 ，所以),(ii， 3021),(),(321321A因此 . 1321321 ),(0),( 又 ，所以 ， ),(321 211321),(219故 . A230219650734. 解： ， )(561D（1）当 ，即 且 时，方程组有惟一解. 03
6、（2）当 时，51601522),(AB r 103925此时 ，方程组无解， 3)(,)(RA（3）当 时，16015322),(AB r 0017158此时 ，方程组有无限多个解.，并且通解为)(RA. 1075871321cx)(R5四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有 EA又 ，所以 ，再由于 可逆，便有 .A2 2 A2. 证：假设 可逆，即 存在，以 左乘 的两边得 ，这与 是 阶非110B0Bn零矩阵矛盾；类似的，若 可逆，即 存在，以 右乘 的两边得 ，这与B1是 阶非零矩阵矛盾，因此， 和 都是不可逆的.AnA线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设 是四维列向量，且
7、， ，则21321,m1321,n321,（ ） 。3,（A） （B） （C） （D） nm)(nn2. 如果 为三阶方阵，且 ，则 （ ） 。2A（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 设 为 阶方阵，且 ，则（ ） 。n0（A） 中必有两行（列）的元素对应成比例 ，（B） 中至少有一行（列）的元素全为 0 ， （C） 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合， （D） 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4. 设 矩阵 、 的秩分别为 ，则分块矩阵 的秩 满足（ ） 。nmB21,r),(BAr（A） （B） （C） （D） 21r21r215.
8、设 为 阶方阵， 是 阶正交阵，且 ，则下列结论不成立的是（ ） 。CnT（A） 与 相似 （B） 与 等价A（C） 与 有相同的特征值 （D） 与 有相同的特征向量二、填空题1. 阶行列式 。nabbqab000 62. 设 ， ， ，则 。T)3,21(T31,2TAn3. 设三阶矩阵 ， 满足 ，且 ，则 BBA61 71430B。4. 设四阶方阵 ，则 。1025A1A5. 设向量组 ， ， 线性相关，则 T3,4Tt,2T1,323t。6. 设三阶方阵 的特征值为 1，2，3，则 ， 的特征值为 AA1A， 的特征值为 。7. 设二次型 为正定二次型，则 的范围是 321232132
9、1),( xtxxf t。三、计算题1. 求向量组 ， ， ， ， 的秩与一个最01322170541389大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示。2. 为何值时，方程组 有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷154321x多解时求出方程组的通解。3. 三阶实对称矩阵 的特征值为 ， ，对应于特征值 的特征向量为A1321, 求 。10p4. 已知二次型 ，3231212321321 44),( xxxxf （1）写出二次型 的矩阵表达式，（2）用正交变换把 化为标准形并写出相应的正交变换。f7四、证明题1. 设 为 阶方阵，如果存在正整数 ，使得 ，证明 可逆，并求逆。Ank0kAAE2
10、. 设 是 阶方阵 的特征值，对应的特征向量分别为 ，证明 不是21A21,p21p的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1. C 2. A 3. C 4. A 5. D二、填空题（每空 3 分）1. ； 2. ； 3. ；nnba1)(13211n 123B4. ； 5. 3120526. ， ，6，3，2 ；6,7. .2t三、计算题1. 解： ),(54321A1372308195 r 45， r 2103所以 ， 是一个最大无关组，并且有 3),(54321R321,，. 321582. 解： ， )1(545412D当 ，即 且 时，方程组有惟一解. 054当 时，1
11、14212),(AB r 01此时 ，方程组有无限多个解.，并且通解为2)(R， 10321cx)(R当 时，54 542),(54AB r 10541此时 ，方程组无解. 3)(,2)(R3. 解：先求对应于特征值 1 的特征向量，设 是对应于 1 的特征向量，则有321x，01pT因而 ， ， 为不等于 0 的任意常数. 01c2c取 ， ， ，令 ，则有21213),(321P， 11APT9因此， . TPA1014. 解：（1） 321321321),(),( xxxf AXT（2） ，2)1(512EA所以 的特征值为 ， ， 513当 时，由 得对应于 5 的特征向量 ，当 时，
12、10)(XEA1132由 得对应于 的特征向量 ， . 0)(XEA101223取 ， ， ，令 ，则 为正交矩阵，且310212 6213),(321PP， 151APT因此，所求的正交变换为 ，并且YX23215yf四、证明题1. 证： 0kAEEAk)(12所以， 可逆，并且 .12( kA2. 证：假设 是 的对应于 的特征向量，则21P)()(2121PP因为 , 所以 ， 由于 是2,A0)(121,10对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！2121,0线性代数综合练习题（三）一、选择题1. 设 是 矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵 的秩为 ，则An
13、mBnArABC1r（ ）.（A） （B） （C） （D） 的关系依 而定1r1r1r1与2. 若 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） A24TA3. 值不为零的 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）.n（A） 保持不变 （B） 保持不为零（C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值4. 设 和 都是 阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若 和 都是对称阵，则 也是对称阵（B） 若 ，且 ，则00A（C） 若 是奇异阵，则 和 都是奇异阵（D） 若 是可逆阵，则 和 都是可逆阵B5. 向量组 线性相关的充要条件是（ ）.s,21（A） 中有一个零向量s（B） 中任意向量的分量成比例s,21（C） 中有一个向量是其余向量的线性组合s（D） 中任意一个向量是其余向量的线性组合s,216. 设方阵 的秩分别为 ，则分块矩阵 的秩 与 的关系是（ ）.BA21,r),(BAr21,（A） （B） （C） （D）不能确定21r21二、 填空题1. 设三阶方阵 的特征值为 1，2，3，则 .2. 设 为正定二次型，则 的取值323121321),( xtxxxf t范围为 .
