1、点到直线的距离公式的七种推导方法已知点 直线 求点 P 到直线 l的距离。 （因为特殊直线很容易求距离，0(,)Pxy:0(,)lAxByCAB这里只讨论一般直线）一、 定义法证：根据定义，点 P 到直线 的距离是点 P 到直线 的垂线段的长，如图 1，ll设点 P 到直线 的垂线为 ，垂足为 Q，由 可知 的斜率为 l BA的方程： 与 联立方程组l00()ByxAl解得交点 22022(,)CyABxCQ2 2 200 02 202 2 20002| )()()()()()()xyPxyBAyABxyCxCxyCAB02|AxByCPQ二、 函数法证：点 P 到直线 上任意一点的距离的最小
2、值就是点 P 到直线 的距离。在 上取任意点 用l ll(,)xy两点的距离公式有 ， 为了利用条件 上式变形一下，配凑系数处理得：AxBy2220022002002022002()()B()()()() )|AxyxyxyxCyAB当且仅当 时取等号所以最小值就是 0()yx（ ） 02|AxByCd三、不等式法证：点 P 到直线 上任意一点 Q 的距离的最小值就是点 P 到直线 的距离。由柯西不等式：l(,)yl222 2200000()()()()ABxyAxyxy22|,()yCxB当且仅当 时取等号所以最小值就是00()（ ） 02|ACd四、转化法证：设直线 的倾斜角为 过点 P
3、作 PM y轴交 于 M ll显然 所以 1(,)xy10x01AxCyb| |BPM2图yxPQlyxPl3图 MyxPQl1图 易得MPQ （图 2）或MPQ （图 3）018在两种情况下都有 所以 2tantanAMPQB221|costanBMPQA0 022|cos|xyCxByCPQA五、三角形法证：P 作 PM y轴交 于 M，过点 P 作 PN x轴交 于 N（图 4）l l由解法三知 ；同理得 0| |AxBy0|y在 Rt MPN 中，PQ 是斜边上的高 0222| CNQP六、参数方程法证：过点 作直线 交直线 于点 Q。(如图 1)0(,)xy0 cos:inxtlyl
4、由直线参数方程的几何意义知 ，将 l代入 得|tPQ00cossin0AxtBytC整理后得 0| |.(1)cosiABCt当 时，我们讨论 与 的倾斜角 的关系：ll当 为锐角时 （ ）有 （图 2）tan,不 妨 令 ,B,009得到的结果和上述形式相同，将此结果代入得 00222|AxByCAxyCt B七、向量法证：如图五，设直线 的一个法向量:(,0)lxy，Q 直线上任意一点，则 。从而点 P 到(1,)BnA 1PQxy直线的距离为：4图yxPQlMNyPnQlx图五10101010221001 22|()|()()| | | |,BxyAxBynPQd AxyxByCAxyC
5、dA点 在 直 线 l上 ,从 而附：方案一：设点 P 到直线 的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由l PQ 可l知，直线 PQ 的斜率为 （ A0） ，根据点斜式写出B直线 PQ 的方程，并由 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标；l 由此根据两点距离公式求出 PQ，得到点 P 到直线 的距离l 为 d 新 疆学 案王 新 敞 方案二：设 A0， B0，这时 与 轴、 轴都lxy 相交，过点 P 作 轴的平行线，交 于点 ；作 轴的xl),(01R 平行线，交 于点 ，l),(20yS由 得 .201CBAx BCAxyx0201,所以， P 10A0 PS 20yBCyx0 S 由三角形面积公式可知：APSR22Byx0 S P PS 新 疆学 案王 新 敞d所以 20BACyx可证明，当 A=0 时 仍适用 新 疆学 案王 新 敞o xyldQSR P(x0,y0)
