1、0点、直线、圆与圆的位置关系知识讲解(基础)【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系;2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题; 3.了解两个圆相离(外离、内含),两个圆相切(外切、内切),两圆相交,圆心距等概念理解两圆的位置关系与 d、r 1、r 2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1点和圆的三种位置关系:由于平面上圆的存在,就把平面上的点分成了三个集合,即圆内的点,圆上的点和圆外的点,这三类点各具有相同的性质和判定方法;设O 的半径为 r,点 P
2、到圆心的距离为 d,则有2三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释:(1)点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系;(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1直线和圆的三种位置关系:(1) 相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线(2) 相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点(3) 相离:
3、直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢?由于圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,因此研究直线和圆的位置关系,就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径;图(2)中直线与圆心的距离等于半径;图(3)中直线与圆心的距离大于半径1如果O 的半径为 r,圆心 O 到直线 的距离为 d,那么要点诠释:这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质;从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理:经过半径
4、的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释:切线的判定定理中强调两点:一是直线与圆有一个交点,二是直线与过交点的半径垂直,缺一不可.2切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.3切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.要点诠释:切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长,不是“切线的长”的简称.切线是直线,而非线段.4切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释:切线长定理包含两个结论:线段相等和角相等.5三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6三角形的内心:三角形内
5、切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释:(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;(2) 解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即 (S 为三角形的面积,P 为三角形的周长,r 为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别:名称 确定方法 图形 性质2外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等,即 OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三
6、角形三边距离相等;(2)OA、OB、OC 分别平分BAC、ABC、ACB; (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离:两个圆没有公共点,且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.两圆外切:两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交:两个圆有两个公共点时,叫做这两圆相交.两圆内切:两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含:两个圆没有公共点,且一个圆上的点都在另一个圆的内
7、部时,叫做这两个圆内含.2两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系:设O 1的半径为 r1,O 2半径为 r2, 两圆心 O1O2的距离为 d,则:两圆外离 dr 1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2dr 1+r2 (r1r 2)两圆内切 d=r1-r2 (r1r 2)两圆内含 dr 1-r2 (r1r 2)要点诠释:(1) 圆与圆的位置关系,既考虑它们公共点的个数,又注意到位置的不同,若以两圆的公共点个数 分类,又可以分为:相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交;(2) 内切、外切统称为相切,唯一的公共点叫作切点;(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等
8、,否则两圆重合.【典型例题】3类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于 5 cm,根据下列点 P 到圆心的距离: (1)4 cm;(2)5 cm;(3)6 cm,判定点 P 与圆的位置关系,并说明理由.【答案与解析】(1)当 d=4 cm 时,dr,点 P 在圆内;(2)当 d=5 cm 时,d=r,点 P 在圆上;(3)当 d=6 cm 时,dr,点 P 在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系,由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三:【变式】点 A 在以 O 为圆心,3 为半径的O 内,则点 A 到圆心 O 的距离 d 的范围是_.【答案】0d3.类型二、直线与圆的位置关系2在 R
9、tABC 中,C=90,AC=3 厘米,BC=4 厘米,以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2 厘米; (2)r=2.4 厘米; (3)r=3 厘米【答案与解析】过 C 点作 CDAB 于 D, 在 RtABC 中,C=90, AC=3,BC=4,得 AB=5,ABCD=ACBC, ACB34D=2.5(cm),(1)当 r =2cm 时 CDr,圆 C 与 AB 相离;(2)当 r= 2.4cm 时,CD=r,圆 C 与 AB 相切;(3)当 r=3cm 时,CDr,圆 C 与 AB 相交【总结升华】欲判定C 与直线 AB 的关系,只需先求出圆心 C
10、到直线 AB 的距离 CD 的长,然后再与 r 比较即可举一反三:【变式】如图,P 点是AOB 的平分线 OC 上一点,PEOA 于 E,以 P 为圆心,PE 为半径作P .求证:P 与OB 相切。4【答案】作 PFOB 于 F,则可证明OEPOFP,所以 PF=PE,即 F 在圆 P 上,故P 与 OB 相切。 3如图所示,在 RtABC 中,B90,A 的平分线交 BC 于 D,以 D 为圆心,DB 长为半径作D求证:AC 是D 的切线【答案与解析】过 D 作 DFAC 于 F B90, DBAB又 AD 平分BAC, DFBD半径 AC 与D 相切【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆
11、有公共点,其证法是过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长等于半径的长即可可简记为:作垂直,证半径类型三、圆与圆的位置关系4(1)已知两圆的半径分别为 3cm,5cm,且其圆心距为 7cm,则这两圆的位置关系是( )A外切 B内切 C相交 D相离(2)已知O 1 与O 2 相切,O 1 的半径为 3cm,O 2 的半径为 2cm,则 O1O2 的长是( )A1cm B5cm C1cm 或 5cm D0.5cm 或 2.5cm【答案】 (1)C ; (2)C.【解析】(1)由于圆心距 d7cm,R+r5+38(cm),R-r5-32(cm) R-rdR+r,故这两圆的位置关系是相交(2)两圆相切包
12、括外切和内切,当O 1 与O 2 外切时,d O 1O2R+r3+25(cm);当O 1 与O 2 内切时,dO 1O2R-r3-21(cm)【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是:两圆外离 dR+r;两圆外切 dR+r;两圆相交 R-rdR+r;两圆内切 dR-r;两圆内含 dR -r点、直线、圆与圆的位置关系巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1.已知:如图,PA,PB 分别与O 相切于 A,B 点,C 为O 上一点,ACB=65,则APB 等于( )A65 B50 C45 D402如图,AB 是O 的直径,直线 EC 切O 于 B 点,若DBC=,则( )AA= BA=90
13、 CABD= D 2190oAB5第 1 题图 第 2 题图3设O 的半径为 3,点 O 到直线 l 的距离为 d,若直线 l 与O 至少有一个公共点,则 d 应满足的条件是( )A.d=3 B. d3 C. d3 D.d34在 RtABC 中,C=90,AB=10,AC=6,以 C 为圆心作C 和 AB 相切,则C 的半径长为( )A.8 B.4 C.9.6 D.4.85已知O 1和O 2的半径分别为 1 和 5,圆心距为 3,则两圆的位置关系是( )A.相交 B. 内切 C. 外切 D.内含6已知:A,B,C,D,E 五个点中无任何三点共线,无任何四点共圆,那么过其中的三点作圆,最多能作出
14、( )A5 个圆 B8 个圆 C10 个圆 D12 个圆二、填空题7锐角三角形的外心在三角形的_部,钝角三角形的外心在三角形的_部,直角三角形的外心在_8若ABC 中,C=90,AC=10cm,BC=24cm,则它的外接圆的直径为_9若ABC 内接于O,BC=12cm,O 点到 BC 的距离为 8cm,则O 的周长为_10如图所示,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦是小圆的切线,C 为切点,若两圆的半径分别为 3cm 和5cm,则 AB 的长为_cm11.如图所示,已知直线 AB 是O 的切线,A 为切点,OB 交O 于点 C,点 D 在O 上,且OBA40,则ADC_第 10 题图 第
15、11 题图 第 12 题图12如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是 1 m 的水泥管,两两相切地堆放在一起,其最高点到地面的距离是_.三、解答题13. 如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,以 AB 为直径的O 经过点 D,E 是O 上一点,且AED45,试判断 CD 与O 的关系,并说明理由614 AB 是O 的直径,BC 切O 于 B,AC 交O 于 D 点,过 D 作O 的切线 DE 交 BC 于 E.求证:CE=BE.15如图所示,AB 是O 的直径,P 为 AB 延长线上任意一点,C 为半圆 AB的中点,PD 切O 于点 D,连 CD 交AB 于点 E,求证:PDPE【答案
16、与解析】一、选择题1.【答案】B;【解析】连结 OA、OB,则AOB=130,PAO=PBO=90,所以P=50. 2.【答案】A;【解析】AB 是O 的直径,ADB=90,A+ABD=90, 又 直线 EC 切O 于 B 点,+ABD=90,A=,故选 A.3.【答案】C;【解析】直线 l 可能和圆相交或相切. 4.【答案】D;【解析】作 CDAB 于 D,则 CD 为C 的半径,BC= 2ACB= 2610=8,由面积相等,得 ABCD=ACBC.CD= 1086=4.8.5.【答案】D;【解析】内切、外切分别对应 d=Rr,d=Rr,它们起着分界作用.在O 1和O 2相对运动时依次产生外
17、离、外切、相交、内切、内含五种位置关系,圆心距逐渐变小,而相内切和外切起着分界作用,所以先计算 dr 和 dr,因为圆心距 d=3Rr,所以“内含”.6.【答案】C.【解析】过其中的三点作圆,最多能作出 10 个,即分别过点7ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE 的圆. 二、填空题7 【答案】内,外,它的斜边中点处8 【答案】26cm 9 【答案】20cm 10 【答案】8.【解析】因为 AB 切小O 于 C,连 OA、OC,如图,由切线的性质知 OCAB,又由垂径定理得 ACBC,在 RtAOC 中,AO5,OC3 AB2AC8(cm)11 【答案】
18、25.【解析】OAAB,OBA40, BOA50, ADC 12BOA25.12 【答案】(1+ 3) m.【解析】由于三个圆两两外切,所以圆心距等于半径之和,所以三个圆心为顶点的三角形是边长为 1 m 的等边三角形,最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.等边三角形的高是 213-=( ) ,故最高点到地面的距离是(1 23) m. 三、解答题13.【答案与解析】CD 与O 相切理由:如图,连 OD则AOD2AED24590 四边形 ABCD 是平行四边形, ABDC CDOAOD90, ODCD, CD 与O 相切14.【答案与解析】证法 1:连结 DB. AB 是直径, ADB=9
19、0. BDC=90. BC、DE 是切线, BE=ED. EBD= EDB. EBD+ C=90,且EDB+EDC=90, EBD+C=EDB+EDC. 8C =EDC. ED=EC. BE=EC.证法 2:连结 OD、OE. DE 切O 于 D, ODDE. ODE=90. 同理B=90. OB=OD ,且 OE=OE, ODE OBE. BOE=EOD. BOE=A. OEAC. O 是 AB 中点, E 是 BC 中点. BE=EC.15.【答案与解析】连 OC、OD, C 是半圆 ACB 的中点, BOC90,又 PD 切O 于 D, PDO90 PDE90-ODE,PEDCEO90-C, OCOD, CODE PDEPED, PEPD