1、牛吃草教案教学目的：让学生了解什么是“牛吃草“问题以及其特点；掌握“牛吃草“ 问题涉及的关键的量以及求解方法；熟练运用“牛吃草“的方法，解决“牛吃草“的一些变形问题。主要知识点：基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。关键问题：确定两个不变的量（1、原有总草量；2、草的生长速度） 。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间 短时间牛头数）（长时间-短时间） ；总草量=较长时间 长时间牛头数-较长时间 生长量吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）
2、； 牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。例题引导：目的：引导学生自己归纳总结出来牛吃草的特点：引例 1：有一堆干草：10 头牛吃 15 天，问如果是 25 头牛，可以吃几天？（6 天）计算很简单，主要引导同学们知道把牛每天吃草量设为单位“1”。在计算下两种情况下，总草量是否一样？（完全一样为：150）引例 2：一片青草地，牧草每天都在匀速生长，18 头牛吃 16 天，但是，27 头牛吃 8 天，让学生算算原有草量是多少？（老师给出算法：也是设一头牛一天吃单位 1 的草量）情况 1: 18*16=288， 情况 2： 27*8=216（提问：为什么不一样）引导学生分析出来，草每天还要均匀生产，时
3、间长，草就长的多，影响了牛吃的总草量，并分析出来牛吃的总草量由什么组成（可以与引例 1 想比较说明这点） 。即：牛吃的总草量= 原有总草量+ 草的生长总量草的总生长量= 草的生长速度*天数让学生求：原有总草量和草的生长速度方法：设 1 头牛一天吃的草为 1 份，那么 18 头牛 16 天吃的就是 18*16=288 份，是原有的草和 16 天新长出来的草；27 头牛8 天吃的就是 27*8=216 份，是原有的草和 8 天新长出来的草。由于原有的草量不变，所以相差的 288216=72 份草，是168=8 天所长出来的，即每天长 728=9 份（草的生长速度） 。也就是说，每天要有 9 头牛专
4、吃新长出来的草，总草量才不变，所以牧场上原有的草有（189）16=144 份（原有总草量） 。（以上解答，可以画线段图，可以刚好帮助学生理解分析）追加一问：现在，如果是 21 头牛可以吃几天？（学生自己解答）一定强调：生长出来的草可以供牛吃，不是全部的牛吃原因草量，所有草吃光为止！讲解，先去掉 9 头牛吃新长出来的草，剩下的吃原有的草，可以吃 144（219）=12 天。总结：这类总量不断变化的问题就是英国大数学家牛顿提出的“牛吃草”问题，也有人称之为“牛顿问题” 。 （所以不是马吃草）特点：原草量新草生长速度是不变的解题思路说明：（1）解牛吃草问题，一般是先求出每天新长出来的草量，它是通过对
5、比两种不同吃法而得出的；（2）求出每天新长出来的草量之后，可以让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛吃原有的草，可根据后一种吃法求出原有的草量；（3）在所求的问题中，让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛吃原有的草，易求出吃的天数。可以给出公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间 短时间牛头数）（长时间-短时间） ；总草量=较长时间 长时间牛头数-较长时间 生长量吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度） ； 牛头数原有草量吃的天数草的生长速度（可以在出一问说明或者条件反过来说明） 。巩固：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10头牛吃 20 天，或者可供 15 头牛吃 10 天。问：
6、可供 25 头牛吃几天？例 2：一艘木船发生了漏水事故，水匀速的涌入。3 人淘 40 分钟可以把水淘完，5 人淘，20 分钟可以把水淘完。现在由 6 人把水淘完，需要多长时间？【分析与解答】分析：从表面上看，本题中没有牛吃草，但是因为总的水量不断改变，我们把“水”看作“草” ，涌入的水就相当于新长出来的草，船内原来已漏进的水就相当于原有的草，人淘水就相当于牛吃草，所以本题的实质也是牛吃草的问题，解法与例 1 相似。设 1 人 1 分钟淘的水量为 1 份，那么 3 人 40 分钟淘的水是340=120 份，5 人 20 分钟淘的水量是 520=100 份，这两次所淘的水量中都包括原来已经漏进的水
7、量和从开始淘到淘完这段时间内又涌入的水量，所以相差的 120100=20 份水是 4020=20 分钟涌入的，所以每分钟涌入的水量为 2020=1 份。显然，1 人专淘涌入的水，原有的水量不变。因此，原有的水量为（31）40=80 份。现在，要求 6 人几分钟把水淘完，先让 1 人专淘涌入的水，剩下的人淘原有的水，可以淘 80（61）=16 分钟。例 3：某电影院在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟。现在要使队伍 10 分钟消失，那么需要同时开几个检票口？【分析与解答】分析：
8、等待检票的观众人数在变化， “观众”相当于“草” ， “检票口”相当于“牛” ，所以本题实质上也是一道牛吃草的问题。总的草量相当于观众总人数，即开始检票前已经在排队的原有观众和检票开始后新来的观众。设 1 个检票口 1 分钟检票的观众人数为 1 份，那么 4 个检票口 30分钟通过的人数为 430=120 份，5 个检票口 20 分钟通过的人数为520=100 份，说明在 3020=10 分钟内新来的观众人数为120100=20 份，所以每分钟新来观众为：（430520）（3020）=2 份显然，让 2 个检票口检新来的观众，等待的队伍人数不变，其余的检票口检原有的观众，原有观众为：（42）3
9、0=60 份。现在，要在 10 分钟内检完票，使观众不再排队等候，应让 2 个检票口专检新来的观众，以使原有人数不变，原有人数从其他检票口10 分钟通过，所以共需要的检票口为：60102=8 个。例 4：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分析：与例 3 比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自
10、动扶梯的速度。男孩 5 分钟走了 205= 100（级），女孩 6 分钟走了 156=90（级），女孩比男孩少走了10090=10（级），多用了 65=1（分），说明电梯 1 分钟走 10级。由男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）5=150（级）。解：自动扶梯每分钟走（205156）（65）=10（级），自动扶梯共有（20+10）5=150（级）。答：扶梯共有 150 级。例 5、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头
11、牛吃 10 天？分析与解：与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例 1 的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6天吃 90 份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是说，寒冷相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草（20+10）5=150（份）。由 15010=15 知，牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天，寒冷占去 10 头牛，所以，可供
12、 5 头牛吃 10 天。练习与巩固1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 周或供 30 头牛吃 5 周，问可供 42 头牛吃几周？2.有一水池，池底有泉水不断涌出。用 10 部抽水机 20 时可以把水抽干；用 15部同样的抽水机，10 时可以把水抽干。那么，用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？3.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放 3 个检票口，那么 40 分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放 4 个检票口，那么 25 分钟队伍恰好消失。如果同时开放 8 个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？4.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27 级梯级，女孩可走 24 级梯级，结果男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？5.由于天气逐渐变冷，牧草上的草每天以均匀的速度在减少，经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天，那么，可供 11 头牛吃几天？
