1、1大学物理（一）练习册 参考解答第 1 章 质点运动学一、选择题1(D)，2(D)，3(B)，4(D) ，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B) ，二、填空题(1). ， (n = 0,1, ), sin2tA12(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s.(4). 16Rt2 ， 4 rad /s2 (5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t 2-6t (m/s2). (6). ，2ct，c 2t4/R. 1(7). 2.24 m/s2，104 o (8). m/s，0，圆.)5ssin(50jtt(9). h1v /(h1h2)(10). 3三、计算
2、题1. 有一质点沿 x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为 x = 4.5 t2 2 t3 (SI) 试求： (1) 第 2 秒内的平均速度；(2) 第 2 秒末的瞬时速度；(3) 第 2 秒内的路程解：(1) m/s 5.0/txv(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.2. 一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a 4t (SI)，已知 t 0 时，质点位于 x 10 m 处，初速度 v 0试求其位置和时间的关系式解： dv /dt t ， dv t dt av
3、 = 2t2 004v x /d t t2 tx00x t3 /3+x0 (SI)3. 质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为 a26 x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度2解：设质点在 x 处的速度为 v，62dxtxta00v2 213x4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为 ky，式中 k 为常量，y 是以平衡位a置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标 y0 处的速度为 v0，试求速度 v 与坐标 y 的函数关系式解： ttaddv又 ky -k v dv / dy a Cy21,已知 y0 ， v0 则 020kC)(2
4、y5. 一质点沿半径为 R 的圆周运动质点所经过的弧长与时间的关系为 其21ctbS中 b、c 是大于零的常量，求从 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的0t时间解： ctbtSd/vatRn2根据题意： at = an 即 cb/解得 t6. 如图所示，质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m 的圆轨道转动转动的角速度 与时间 t 的函数关系为 (k 为常量)已知 时，质点 P2tst2的速度值为 32 m/s试求 s 时，质点 P 的速度与加速度的大小 1t解：根据已知条件确定常量 kO R P3222/rad4/sRttkv, 4t时， v = 4Rt2 = 8 m/s st
5、12/16/mtdats3nm/s2 .52/12nt7. (1)对于在 xy 平面内，以原点 O 为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径 r、角速度 和单位矢量 、 表示其 t 时刻的位置矢量已ij知在 t = 0 时， y = 0, x = r, 角速度 如图所示； (2)由(1)导出速度 与加速度 的矢量表示式；va(3)试证加速度指向圆心 解：(1) jtritrjyixr sn co (2) tsindvjtrtrasi 22(3) jits co2 这说明 与 方向相反，即 指向圆心 ar8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以 60 km/h 的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（
6、在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明解：设下标 A 指飞机，F 指空气，E 指地面，由题可知：vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知 vAE 大小未知， 正北方向 由相对速度关系有： FEAEv、 、 构成直角三角形，可得 AEFkm/h17022FA4.9/tg1Ev（飞机应取向北偏东 19.4的航向） 四 研讨题1. 在下列各图中质点 M 作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？ x y O r (x,y) j i西 北FEvAFEAFEM M M M v v a a 0(1) (2) (
7、3) (4) 4参考解答：(1)、(3)、(4)是不可能的(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；(3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；(4) 曲线运动法向加速度不可能为零.2. 设质点的运动方程为 ， 在计算质点的速度和加速度时：)(tx)(ty第一种方法是，先求出 ，然后根据 及 而求得结果；2rtdrv2tra第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即和 .2)d(tytxv 22)()(tytxa你认为两种方法中哪种方法正确？参考解答：第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义， jtyitxjyixtr d)(dva 22所以 ， .2)d(t
8、ytxv 22)d()(tytxa第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性（ 为 r 方向的单位矢量） ，)(d0rttrt0.22dav问题的关键： ?d0tr在第二种方法中， 如果在第一种方法的讨论中， 那么,ti ,0dtr= 则 也成立！)(d0rtvtrd0,0ttv注意：若 则 必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据,0质点的运动方程为 ， ，质点作平面曲线运动， 如图所示，)(tx)(ty大小不变，但方向改变！0r所以 即第一种方法是错误的！,0dtr只有在直线运动中， （显然 是大小与方向均不随时间改变的常矢量）ii5速度的大小才等于 .对加速度的大小
9、 也可以用同样方法加以讨,0d0tirtrd2dtra论.第 2 章 质点力学的运动定律 守恒定律一、选择题1(C)，2(E)，3(D) ，4(C) ，5(C)，6(B)，7(C) ，8(C)，9(B)，10(C)，11(B) ，12(A) ，13(D)二、填空题(1). 2=12rad/s，A=0.027J(2). 290J(3). 3J (4). 18 Ns(5). (SI)jti23(6). 16 Ns， 176 J(7). 16 Ns ，176 J(8). ，Mkl/0knml0(9). 63.2 N(10). (2 m，6 m)； (-4 m，2 m)和(6 m ，8 m)； 2 m
10、 和 6 m.三、计算题1. 已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比，即 ，k 是比例常数设质点在 x=A 时的速2/xf度为零，求质点在 x=A /4 处的速度的大小 解：根据牛顿第二定律 xmtxtxkf dd2 vv 4/20,dAkmvk3)1(21 /62. 质量为 m 的子弹以速度 v 0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 ，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度解：(1) 子弹进入沙土后受力为 v，由
11、牛顿定律 6tmKdv v0d,d0tKt mKt/0ev(2) 求最大深度解法一： txdmKe/0txtt/0v )e1()/(/mKtmax解法二： xtxtKd)(dvv v000maxK /ax3. 如图，用传送带 A 输送煤粉，料斗口在 A 上方高 h0.5 m 处，煤粉自料斗口自由落在 A 上设料斗口连续卸煤的流量为 qm40 kg/s，A 以 v2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动求装煤的过程中，煤粉对 A 的作用力的大小和方向 （不计相对传送带静止的煤粉质重）解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度 gh20v设煤粉与 A 相互作用的t 时间内，落于传送带上的煤
12、粉质量为 tqm设 A 对煤粉的平均作用力为 ，由动量定理写分量式： f0tfx)(vy将 代入得 ， tqmmxqf 0vmyqf N 1492yxf与 x 轴正向夹角为 = arctg (fx / fy ) = 57.4 f由牛顿第三定律煤粉对 A 的作用力 f= f = 149 N，方向与图中 相反f h A v、 x y fyt fxt 74. 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率 v 水平地运动忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1) 若每秒有质量为 qm=dM/dt 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率 v
13、运动，需要多大的功率？(2) 若 qm=20 kg/s，v 1.5 m/s，水平牵引力多大？所需功率多大？解：(1) 设 t 时刻落到皮带上的砂子质量为 M，速率为 v，t+dt 时刻，皮带上的砂子质量为M+dM，速率也是 v，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力 F 的冲量为： tF)0()d( mqtv/由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力 F，即 F=F由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力 F =F， 因而， F =F， F与 v 同向，动力源所供给的功率为：mtP2/d(2) 当 qm dM/dt=20 kg/s，v1.5 m/s 时，水平牵引力Fvq m=30 N 所需功率 P=v
14、 2qm=45 W 5.一链条总长为 l，质量为 m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为 a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为 y,则摩擦力大小为glmf摩擦力的功 00ddalalf yW= = 2lyg2)(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 W 2021vm其中 W = W PW f ，v 0 = 0 WP = = laxdlamgla)(2由上问知 f所以 2221)()( valglg得 2v x y
15、a la a la 86.小球 A，自地球的北极点以速度 在质量为 M、半径0v为 R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系中轴 OO与 平行，小球 A 的运动轨道与轴 OO0v相交于距 O 为 3R 的 C 点不考虑空气阻力，求小球 A在 C 点的速度 与 之间的夹角 解：由机械能守恒： )3/(21/210 RGmRGmvv根据小球绕 O 角动量守恒： sin3、式联立可解出RM/129sin0v7.质量为 mA 的粒子 A 受到另一重粒子 B 的万有引力作用，B 保持在原点不动起初，当 A 离 B 很远( r = ) 时，A 具有速度 ，0v方向沿图中所示直线 Aa，B 与这
16、直线的垂直距离为 D粒子 A由于粒子 B 的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动已知这轨道与 B 之间的最短距离为 d，求 B 的质量 mB 解：A 对 B 所在点的角动量守恒设粒子 A 到达距 B 最短距离为 d 时的速度为 v ， mDAv0/0A、B 系统机械能守恒( A 在很远处时， 引力势能为零) dGBAA/210解得 /v )()(0dDmB8. 一个具有单位质量的质点在随时间 t 变化的力 (SI) 作用jtitF)612()43(2下运动设该质点在 t = 0 时位于原点，且速度为零求 t = 2 秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量解： 以下各式均为
17、SI 式 m = 1， ， a ， jtitF)62()43(2 jtit)61()43(2 ，t = 0 时， ad/v0v t0v tjtit02d)()(jtit6)2(3 ， t = 0 时， r/d0r tv0 jti)32()341(mMROA CO 0v A BadD v 09当 t = 2 s 时 ， , jir43/j12vjiF184力矩 kiFM0)()(0 角动量 jmrL63四 研讨题1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？参考解答：汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力
18、，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？参考解答：冲量是力对时间的积累，
19、由动量定理： PtFIt 1221d所以，冲量的方向和动量增量 的方向相同，不一定与冲力 的方向相同。PF3. 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。参考解答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为m 的物体（例如一气球）静止在相对于地面为 h 的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械
20、能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为 h 处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为 v，动能为 mv 2/2，动量的大小为 m v，系统的机械能为 E =mv2/2 mgh = E0=0.104. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性
21、系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明 参考解答：不一定满足守恒条件 例如在水平面上以速度 匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球以车厢为参考系，0v小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球地系统机械能守恒若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为 ，则小球v对地速度 ， 与绳张力 不垂直，故小球摆动过程中v0T绳张力对小球要作功，这时小球地系统不满足机械能守恒条件但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？参考解答：在空气中释放一氢
22、气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据 Fi=m2r，这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。（忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）第 2 章 刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(A)，4(D) ，5(C)，6(C)，7(C)，8(C) ，9(D)，10(C)二、填空题(1). v 15.2 m /s，n 2500 rev /min(2). 62.5 1.67(3). g / l g / (2l)(4). 5.0 Nm(5). 4.0 rad/s(6). 0.25 kgm2
