1、 1 / 116第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻 t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t t)时间内的位移为r, 路程为s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称r),平均速度为 ,平均速率为 v(1) 根据上述情况,则必有( )(A) r= s = r(B) r s r,当t0 时有dr= ds dr(C) r r s,当t0 时有dr= dr ds(D) r s r,当t0 时有dr = dr = ds(2) 根据上述情况,则必有( )(A) = , = (B) , vvvv(C) = , (D) , = 分析与解 (1) 质点在t 至(t t)时间内沿曲线从P
2、 点运动到P点,各量关系如图所示, 其中路程s PP, 位移大小 rPP,而r r-r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能) 但当t0 时,点P 无限趋近P点,则有drds,但却不等于dr故选(B)(2) 由于r s,故 ,即 tsv但由于drds,故 ,即 由此可见,应选(C)tdr1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r( x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1) ； (2) ； (3) ； (4) tdtrtsd22dtytx下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(
3、2)(3)正确 (D) 只有(3)(4) 正确2 / 116分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率通trd常用符号v r表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； 表示速度矢量；在自然坐标tdr系中速度大小可用公式 计算,在直角坐标系中则可由公式 求tsdv22dtytxv解故选(D)1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a 起改变速度大小的作用,而法向
4、分量a n起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于a 是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a 为一不为零的恒量,当a 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选(B) 1 -4 质点的运动方程为 2301tx5y式中x,y 的单位为m,t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为 ttx601d
5、vy45当t 0 时, v 0x -10 m -1 , v0y 15 m -1 ,则初速度大小为 120sm.8yx设v 0与x 轴的夹角为,则 23tan0xyv12341(2) 加速度的分量式为3 / 116, 2sm60dtaxv2sm40dtayv则加速度的大小为 22s1.7yx设a 与x 轴的夹角为 ,则 3tanxy-3341(或32619)1 -5 质点沿直线运动,加速度 a4 -t2 ,式中a的单位为m -2 ,t的单位为如果当t 3时,x9 m,v 2 m -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由
6、 和 可得 和 如aa(t)或v v( t),则可两tdvtxtdvx边直接积分如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 ta0d0v得 (1)0314vt由 tx0d0v得 (2)0421xttxv将t3时,x 9 m,v2 m -1代入(1)、(2) 得v0-1 m -1, x00.75 m于是可得质点运动方程为 75.124tx1 -6 飞机以100 m -1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目
7、标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？4 / 116题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角或由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角 ,可由此时刻的两速度分量 vx 、v y求出,这样,也就可将
8、重力加速度g 的切向和法向分量求得解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x vt , y 1/2 gt 2飞机水平飞行速度v100 ms-1 ,飞机离地面的高度y100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 m452gxv(2) 视线和水平线的夹角为 o.1arctnxy(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 vgtxyrart取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 2sm8.1arctnsiinvggat 26.9rtocn1 -7 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 运动,v 0 、b 都是常量(1) 求t 时刻20
9、1ts质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？5 / 116分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运动方程s s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a ,而加速度的法向分量为a nv 2 /R这样,总加速度为a a e anen至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量ss t -s0因圆周长为2R, 质点所转过的圈数自然可求得解 (1) 质点作圆周运动的速率为 btts0dv其加速度的切向分量和法向分量分别为, tsat2Rtan202)(故
10、加速度的大小为 )(4022btattnv其方向与切线之间的夹角为 Rbtatn20)(rcr(2) 要使ab,由 可得bR402)(1vt0(3) 从t0 开始到tv 0 /b 时,质点经过的路程为 bst20v因此质点运行的圈数为 bRsn4220v1 -8 一升降机以加速度1.22 m -2上升,当上升速度为2.44 m -1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算：(1) 螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度
11、运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 y1(t)和y 2 y 2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝) 为参考系,这时,螺丝 (或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机) 运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为6 / 116201atyv2gh当螺丝落至底面时,有y 1 y 2 ,即 202011tatvvs75.ght(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m16.0202tyhdv解2 (1
12、)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小 ag a,螺丝落至底面时,有)(1ts705.2aght(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为 201thv则 m76.d题 1-8 图1 -9 一无风的下雨天,一列火车以 v120.0 m -1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降求雨滴下落的速度v 2 (设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图7 / 116分析 这是一个相对运动的问题设雨滴为研究对象,地面为静止参考系,火车为动参考系v 1 为 相对 的速度 ,v2 为雨滴相对的速度,利用相对运动速度的关系即可解解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v
13、 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2为相对速度,它们之间的关系为 (如图所示), 于是可得12vo12sm36.57tanv1 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前 角,速率为v 2,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析 这也是一个相对运动的问题可视雨点为研究对象,地面为静参考系,汽车为动参考系如图(a) 所示,要使物体不被淋湿 ,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2的方向)应满足 再由相对速度的矢量关系 ,即可求出所hlarctn
14、12v需车速v 1题 1-20 图解 由 图(b),有12v cosinart21v而要使 ,则hlarctnhlcosin21vli211 -11 用水平力F N把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止当F N逐渐增大时,物8 / 116体所受的静摩擦力F f的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N成正比地增大(C) 开始随F N增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值F N范围内取值当F N增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与
15、重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)1 -12 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于 (B) 必须等于ggR(C) 不得大于 (D) 还应由汽车的质量m 决定分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为F N由此可算得汽车转弯的最大速率应为vRg因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值 ,均能保证不侧向打滑应选(C)1-13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则
16、( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关重力的切向分量(m gcos ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断), 则物体作圆周运动的向心力(又称法向力 )将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程可判断,随 角的不断增大过程,轨道支持力F N也将不断增大,由此可RgN2si
17、nv见应选(B)*1 -14 图(a)示系统置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降机内 ,A、B 两物体质量相同均为9 / 116m,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A、 B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解此时A、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a 为A、B 两物体相对电梯的加速度,ma为惯性力对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F 5/8 mg故选(A)讨论 对于习题2 -5 这种类型的物
18、理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A 和a B 均应对地而言,本题中a A 和a B的大小与方向均不相同其中a A 应斜向上对a A 、a B 、a 和a之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐有兴趣的读者不妨自己尝试一下1 -15 在如图（a）所示的轻滑轮上跨有一轻绳，绳的两端连接着质量分别为1 kg和2 kg的物体A和B，现以50 N的恒力F向上提滑轮的轴，不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦，求A和B的加速度各为多少？题 1
19、-15 图分析 在上提物体过程中，由于滑轮可以转动，所以A、B两物体对地加速度并不相同，故应将A、B和滑轮分别隔离后，运用牛顿定律求解，本题中因滑轮质量可以不计，故两边绳子张力相等，且有 .T2F解 隔离后，各物体受力如图（b）所示，有滑轮 02TA Aamg10 / 116B BTamgF联立三式，得 2.15Aa7.2s， 2s讨论 如由式 求解，所得 是A、B两物体构成的质)()(BABa点系的质心加速度，并不是A 、B两物体的加速度.上式叫质心运动定理. 1 -16 一质量为 m 的小球最初位于如图(a) 所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑试求小球到达点C时的角速度和
20、对圆轨道的作用力题 1-16 图分析 该题可由牛顿第二定律求解在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度a ,与其相对应的外力F 是重力的切向分量mg sin,而与法向加速度a n相对应的外力是支持力F N 和重力的法向分量mg cos由此,可分别列出切向和法向的动力学方程F mdv/dt和F n man 由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力 FN 取图(b) 所示的自然坐标系,由牛顿定律得(1)tmgt dsinv(2)RFNn 2co由 ,得 ,代入式(1),并根据小球从点 A 运动到点C 的始末条件,进行积trsdvvr分,有 2/sin0 drgdv得 rgcos则小球在点C 的角速度为 rr/cs
