1、怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校 郑建元(315400) 图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究如图 1： 为ABC 中 上一点, 问：当ABC 满足怎样的条件? ABD 与ADC 均为DBC等腰三角形我们不妨倒过来研究：假定ABD 与ADC 均为等腰三角形不失一般性，我们作如下分类讨论:若 ，我们再分三种情形讨论：ADB(1)若 ,则有 , ，
2、CBADC又 ，1802（ BAD+） =1809C故ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷）(2)若 , ,则有 , ，ADBCBADC3BADB故ABC 中存在两内角满足 3 倍关系；(3)若 ,显然 , ,2CADBA故ABC 中存在两内角满足 倍关系；2若 ,我们再分两种情形讨论：B(1)若 ，类同 1(3)可证，故ABC 中两内角仍满足 倍关系； 2()若 ，显然ADB， ，BAC ADCCAD+B+= ADB+ADC=180，这与定理“三角形内角和等于 180”矛盾，因此 不成立；CABD图 1()若 ，显然ACDADB
3、，DACADC，BAC+B+ +DA=ADB+ADC=180，这与定理“三角形内角和等于 180”矛盾，因此 不成立ACD若 ,我们再分三种情形讨论：B(1)若 ，类同 1(2)，可证BAC=3C，故ABC 中存在两内角满足 3 倍关系；ADC()若 类同 2(3)，可证ACB+ BAC+ BA +AD+=BDA+ADC=180，这与定理“三角形内角和等于 180”矛盾，因此 不成立；A()若 ,AB+AC=BD+DC=BC，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边 ”矛盾，ACD因此 不成立综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形
4、；（2）其中两内角有 3 倍关系；（3）其中两内角有 2 倍关系那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立如图 2，在 RTABC 中，BAC=RT，设B=，C= ，在 BC 上取一点 D，使BAD=，易证 DAC=，从而 DA=DB，DA=DC，即 ABD 与ADC 均为等腰三角形其次，满足条件（2）时亦成立如图 3，在ABC 中，BAC=3B，设B=，则BAC=3，在 BC 上取一点 D，使BAD=，易证DAC=ADC=2 ，从而 DA=DB， AC=DC，即ABD 与ADC 均为等腰三角形若满足条件（3） ，则不一定
5、成立 CABD图 2CABD2图 3CABD图 4如图 4，在ABC 中，C=2B，设B= ，则C=2 再分三种情况讨论：BAC；在 BC 上取一点 D，使BAD=，易证ADC=C =2，从而 DA=DB， AD=AC，即ABD 与ADC 均为等腰三角形，但此时 2 必小于 90，180BCA2又BAC，1804529BAC=；B+BAC+C=18 0，4=1802=90此时ABC 为直角三角形，从锐角顶点 A 出发不能把ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发 C，仍能把ABC 分成二个等腰三角形BAC；B+BAC+C=18 0，+21804180，290，C=290此时ABC 为钝角三
6、角形, 从最小角顶点 A 出发不能把ABC 截成二个等腰三角形，但当B=3BAC，或B=2BAC，或C=3BAC 时分别从顶点 B、顶点 C、顶点 C 出发仍能把ABC 分成二个等腰三角形由此可见，当三角形有两内角满足 2 倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有 2 倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线” ） ；（2）两内角有 3 倍关系（从有 3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线” ） ；（3）两锐角
7、有 2 倍关系（从有 2 倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线” ） 对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例1已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况： ，(,90), ， ，中的一种(,2)3,(,)(,2)根据三角形内角和等于 180。 ，从而得顶角的度数为 、 、 或 四种情况90361872如何把一个正三角形分割成四个等腰三角形？思考之一：先分出一个等腰三角形，再把剩下的梯形分成三个等腰三角形；（如图 5、图 6）30图 82020 4040 808040406060图 56030303030 30图 660 6060 6060 60 60图 73030303060 60 6060思考之二：先分成两个三角形，再分别分成两个等腰三角形 （1）先分成两个直角三角形，再分别分成两个等腰三角形 （如图 7）（2）先分成两个非直角三角形，使每个三角形的三个内角中含有满足 2 倍关系的两个锐角或满足 3 倍关系的两角，再分别分成两个等腰三角形 （如图 8）
