1、由三视图判断小正方体个数问题通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常会遇到。解决这类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很大，还很容易出错。通过三视图计算组合图形的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个小正方体组合图形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就迎刃而解了。在三视图中，通过主视图、俯视图可以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定行与列中的最高层数。以上方法可简要地概括为：“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。
2、”一、结果唯一的计数例 1 在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）。A9 箱 B10 箱 C11 箱 D12 箱分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后 3 行，从左到右 3 列。由左视图：第一行均为 1 层，第二行最高 2 层，第三行最高 3 层；由主视图：第一列、第三列均为 1 层，第二列（中间列）最高为 3 层。故第二行、第二列为 2层，第三行第二列为 3 层，其余皆为 1 层。各行、各列小正方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共有 3+1+1+2+1+1=9（箱）。二、结果不唯一的计数例 2（“希望杯”数学邀请
3、赛试题）如图 2，是由若干个（大于 8 个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ）。分析：由给出的主视图、俯视图可以看出，该几何体共有 2 行，3 列。第 1列均为 1 层，第 2 列最高 2 层，第 3 列最高 3 层。左视图为 A 时，第 1 行、第 2 行最高均为 3 层。几何体中，第 1 列第 1 行为 1 层；第 2 列第 1 行、第 2 行均可为 1 层或 2 层，但不能同时为 1 层；第3 列两行均为 3 层。此时，小正方体的个数如俯视图 A 所示，最少为1+2+1+3+3=10（个），最多为 1+2+2+3+3=11 个。左视图为
4、B 时，第一行均为 1 层，第二行最高为 3 层。几何体中，第 1 列第 1 行为 1 层；第 2 列第 1 行为 1 层，第 2 行均可为 2 层；第 3 列第 1 行为 1层，第 2 行为 3 层。此时，小正方体的个数如俯视图 B 所示。小正方体个数为1+1+1+2+3=8（个）。左视图为 C 时，第 1 行最高为 2 层，第 2 行最高为 3 层。几何体中，第 1列第 1 行为 1 层；第 2 列第 1 行为 1 层或 2 层，第 2 行均为 1 层或 2 层，但不能同时为 1 层；第 3 列第 1 行为 1 层或 2 层（不能与第 2 列第 1 行同时都为 1层），第 2 行为 3 层
5、。此时，小正方体的个数如俯视图 C 所示。小正方体最少为 1+2+1+1+3=8（个），最多为 1+2+2+2+3=10 个。左视图为 D 时，第 1 行最高为 3 层，第 2 行最高为 2 层。几何体中，第 1列第 1 行为 1 层；第 2 列第 1 行为 1 层或 2 层，第 2 行均为 1 层或 2 层，但不能同时为 1 层；第 3 列第 1 行为 3 层，第 2 行为 1 层或 2 层（不能与第 2 列第2 行同时为 1 层）。此时，小正方体的个数如俯视图 C 所示。小正方体最少为1+1+3+2+1=8（个），最多为 1+2+2+2+3=10 个。三、根据两种视图确定计数范围例 3（江
6、阴市中考题）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为 n，则 n 的所有可能的值之和为 。分析：题设中给出了主视图、俯视图，可知这个几何体有 3 列，2 行。第 1列均为 1 层，第 2 列最高 2 层，第 3 列最高 3 层。几何体小正方形块数最少的情况是：第 1 列只有 1 行，共 1 个小正方体；第 2 列两行，至少有一行为 2 层，最少有 2+1=3 个小正方体，第 3 列两行中至少有一行为 3 层，最少有 1+3=4 个正方体。因此几何体最少块数为 1+3+4=8 块。几何体小正方形块数最多的情况是：第 1 列只有 1 行，
7、共 1 个小正方体；第 2 列两行，均为 2 层，共有 2+2=4 个小正方体，第 3 列两行均为 3 层，共有3+3=6 个正方体。因此几何体最少块数为 1+4+6=11 块。练习：故 n 的所有可能值为 8，9，10，11，所有可能值之和为 8+9+10+11=38。1.（2010河南）如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为 7 。分析：易得这个几何体共有 2 层，3 行，2 列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可解答： 3 行，2 列，最底层最多有 32=6 个正方体，第二层有 1 个正方
8、体，那么共有 6+1=7 个正方体组成最少 5 个。故答案为：7点评：主视图和左视图确定组合几何体的层数，行数及列数2. 如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图（1）请你画出这个集合体的一种左视图（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为 n，请你写出 n 的所有可能值主视图 俯视图 左视图分析：由主视图和俯视图可知该几何体共有 3 层，2 行，3 列，那么左视图有 2行 3 列，层数是 3 层。解答：底层（俯视图）5 个，由主视图知第 2 层第一行第 2、3 列各 1 个，第 3层第一行第 3 列 1 个，相加为 8 个（最少）；也可以是第 2 层第一行、第 2 行各
9、1 个，则为 9 个；也可以第 2 层第 2 行第 3 列 1 个，为 10 个；也可以第 2 层第 2 行第 3 列 1 个，第 3 层第一行第 3 列 1 个，则为 11 个（最多）。答案：n=8、 9、10、113. 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图：（1）请你画出这个几何体的其中两种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为 n，请你写出 n 的所有可能值分析：（1）由俯视图可得该几何体有 2 行，则左视图应有 2 列，由主视图可得共有 3 层，那么其中一列必为 3 个正方形，另一列最少是 1 个，最多是 3 个；（2）由俯视图可得该组合几何体有 3
10、列，2 行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第二列第二层最少有 1 个正方体，最多有 2 个正方体，第 3 列第 2 层，最少有 1 个正方体，最多有 2 个正方体，第 3 层最少有 1 个正方体，最多有 2 个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到 n 的可能的值解：（1）（2）俯视图有 5 个正方形，最底层有 5 个正方体，由主视图可得第 2 层最少有 2 个正方体，第 3 层最少有 1 个正方体；由主视图可得第 2 层最多有 4 个正方体，第 3 层最多有 2 个正方体；该组合几何体最少有 5+2+1=8 个正方体，最多有 5+4+
11、2=11 个正方体，n 可能为 8 或 9 或 10 或 11切记：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；组合几何体的最少个数是底层的正方体数加上主视图中第二层和第 3层正方形的个数组合几何体的最多个数是底层的正方体数加上主视图中第二层所有的行和第 3 层所有的行正方形的个数。4如图是有一些大小相同的小正方体组 成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正 体块数最多是？俯视图 主视图分析：由主视图和俯视图易知该几何体是 3 行 3 列 3 层，底层即俯视图有 5 个小正方体，最少是底层个数加第一行第 2、3 层各 1 个，共 7 个 ；最多是底层个数加第一列 3 行第 2
12、、3 层各 1 个（236） ，共 11 个。解：最多的情况是左边的三层，每层 3 个，共九个，右边的只有两个，总共 11个；最少的情况是最低一层如俯视图，有 5 个；左边任意一行是 3 个，总共是7 个；最多是 11 个，最少是 7 个；5. 如图所示，几何体是由一些大小相同的小正方体组成，其三视图中面积最小的是（ ）A、主视图 B、左视图 C、俯视图 D、都一样 解：如图可知该几何体的主视图由 4 个小正方形组成，左视图是由 5 个小正方形组成，俯视图是由 5 个小正方形组成，易得解解答：解：如图，该几何体主视图是由 4 个小正方形组成，左视图是由 5 个小正方形组成，俯视图是由 5 个小
13、正方形组成，故三种视图面积最小的是主视图故选 A 6. 如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图，最多需要多少块小立方体，最少多少块小立方体?7. 用小立方块大一几何体，使得它的主视图俯视图所示这样的几何体最少要几个立方块，最多几块？ 主视图 俯视图8. 用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少要多少个立方？9. 用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下图，问这样的几何体有多少可能？它最多需要多少小立方块。主视图 ： 俯视图 10. 用小立方体搭一个几何体使它的主视图和俯视图如图所示它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方？主视图; 口 俯视图; 口口口口口 口口 口口口
