1、78生物统计学教案第九章 两因素及多因素方差分析教学时间：5 学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。 。讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1 两因素方差分析中的一些基本概念9.1.1 模型类型交叉分组设计： A 因素的 a 个水平和 B 因素的 b 个水平交叉配合，共构成 ab个组合，每一组合重复 n 次，全部实验共有 abn 次。固定模型： A、 B 两因素均为固定因素。随机模型： A、 B 两因素均为随机因素。混合模型： A、 B 两因素中，一个是固定因素，一个是随机因
2、素。9.1.2 主效应和交互作用主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。A1 A2 A1 A2B1 18 24 B1 18 28B2 38 44 B2 30 22先看左边的表。 A 因素的主效应应为 A2水平的平均效应减 A1水平的平均效应，B 的主效应类似。当 A1B1 A2B2 A1B2 A2B1时， A、 B 间不存在交互作用。这里A1B1 A2B262， A1B2 A2B162，因此 A、 B 间不存在交互作用。交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。2041824326311221 211212 79现在看右边的表。A（在 B1水
3、平上） A2B1 A1B1281810A（在 B2水平上） A2B2 A1B222308显然 A 的效应依 B 的水平不同而不同，故 A、 B 间存在交互作用。交互作用的大小为AB（ A1B1 A2B2）（ A1B2 A2B1）9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式假设 A 因素有 a 水平， B 因素有 b 水平，则每一次重复包含 ab 次实验，实验重复 n 次，总的实验次数为 abn 次。以 xilk表示 A 因素第 i 水平， B 因素第 j 水平和第 k 次重复的观测值。一般格式见下表。因 素 B j=1,2,bB1 B2 Bb 总计A1 x111 x121 x1b1x112 x
4、122 x1b2x11n x12n x1bn x1. .因素 A2 x211 x221 x2b1A x212 x222 x2b2x21n x22n x2bn x2. .Aa xa11 xa21 xab1xa12 xa22 xab2xa1n xa2n xabn xa. .总计 x.1. x.2. x.b. x. . .80上表中的各种符号说明如下：A 因素第 i 水平的所有观察值的和，其平均数为ix .ixB 因素第 j 水平所有观察值的和， 其平均数为.j .jA 因素第 i 水平和 B 因素的第 j 水平和所有观察值的和，.ijx其平均数为 .ijx所有观察值的总和， 其平均数为.关于实验重
5、复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。9.2 固定模型9.2.1 线性统计模型对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的 ijk是相互独立且服从 N(0 , 2)的随机变量。固定模型方差分析的零假设为：abnxxx bjaiaibjnkij ijijnkijij , ,2,1,111 nkbjaix ijijjiijk ,2,1, bjjaii 11 0,0 ai bjijij1 10,0bjaiHij ,210: 0:032120819.2.2 平方和与自由度的分解与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量
6、平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。上述各项分别为 A 因素、 B 因素、 AB 交互作用和误差平方和，即：自由度可做相应的分解：由此得出各因素的均方：9.2.3 均方期望与统计量 F的确定 aibjnkijijai bj aibj jiijjiaibjnk ijijkjiijjiaibjkij xxxnxaxx 12111 2221 212 aibjnkijijkeaibj jiijABbjjaiixSxSn1121 2121211nabdfbadf fneAB BAT 1,1 nabSMSMSaSM
7、 eeABABBA2122 1212, eaibjijAB bjjBaii SEnSEb82对上式 E(MSA)、 E(MSB)和 E(MSe)中的第二项，分别记为：于是：这时，零假设还可以写为：用 F 作为检验统计量，以对 A 因素的检验为例：当 F F 时拒绝 H01。对 B 因素和 AB 交互作用的推断类似。两因素固定模型的方差分析表如下：9.2.4 平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的其中 称为校正项，用 C 表示。abnx2变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe 2+bn 2B 因素 SSB b
8、-1 MSB MSB/MSe 2+an 2AB 交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 2+n 2误差 SSe ab(n-1) MSe 2总和 SST abn-1 aibjijbjjaii a122122122 , 222222 , nMSEnMSEbnMSE ABBA 0:,0:,0: 203202201 H22ebnMS的 估 计的 估 计abnxanSabnxS bxSbjjBaiiAaibjnkijT 2122121122, 83不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方
9、和减去 A 因素、 B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和：例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有 4 次重复。将每一数据都减去 30，列成表 9-1。原料( A) 温度( B) xij1 xij2 xij3 xij4 xij. xij.2 412kijx30 11 19 -7 -5 18 324 5
10、561 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 71140 -24 -8 -4 -12 -48 2304 80030 17 29 20 10 76 5776 16302 35 13 8 3 6 30 900 27840 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948原 料 种 类 1 2 3温 3035度 4041 49 23 25 47 59 50 40 43 35 53 5011 13 25 24 43 38 33 36 55 38 47 446 22 26 18 8 22 18 14 30 33 26 19aibjnkaibjijijke xxS11122 aibj
11、BAij eBATAB SanxnSS1228430 13 5 23 20 61 3721 11233 35 25 8 17 14 64 4096 117440 0 3 -4 -11 -12 144 146和 84 22838 7366 利用 xij.列，列成表 92温 度 (B)30 35 40 xi . . xi . .2原 1 18 47 48 77 5929料 2 76 30 58 48 2304(A) 3 61 54 12 113 12769x.j. 155 47 118 84 21022x.j.2 24025 2209 13924 40158从表 91 中可以计算出：及由表 92
12、中可以计算出：0.1964382abnxC0.7171122 ijkijTS5.628341361122aibjnkaibjijije xx17.5419620431122 abnxbnSaiiA 8.3058212xajjB 75.805.1658.3017.540.7 eBATAB SS85列成方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方 F原料 A 1554.17 2 777.09 12.67*温度 B 3150.58 2 1575.29 25.68*AB 808.75 4 202.19 3.30*误 差 1656.50 27 61.35总 和 7170.00 359.2.5 无重复实验时的
13、两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（ n = 1） 。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的 n 都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。9.3 随机模型9.3.1 线性统计模型对于随机模型：因此，任何观察值的方差 2222var ijkx零假设为： 0:,0:,0: 20320201 HHH9.3.2 均方期望与统计量 F的确定 nkbjaix ijijjiijk ,2,1,2222 ,0:,0:,0:,0: NIDNIDNIDNID ijkijji86随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。
14、但均方期望不同，因此检验统计量也不同。从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若 MSAB不显著，表明它也是误差的估计，应与 MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。合并的方法是 若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。随机模eABedffSMS型的方差分析表如下：随机模型的方差分析表如下：变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSAB 222bnB 因素 SSB b-1 MSB MSB/MSAB aAB SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 22误 差 SSe ab(n-1) MSe总 和 SST abn
15、-1例 为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下：地 块 B一号地 二号地 三号地100Kg 8.69 8.47 8.80 8.74 9.49 9.37200Kg 8.88 8.72 9.68 9.54 9.39 9.59300Kg 10.82 10.86 11.00 10.92 11.07 11.01施肥量A 400Kg 11.16 11.42 10.97 11.13 11.00 10.9022222eABAMSEnabSE87解： xijk9.5 , 列成表 9.1：施肥量 地 块 1ijx2ijxijx2ij21kijkx一 -0.81
16、-1.03 -1.84 3.3856 1.7170100 二 -0.70 -0.76 -1.46 2.1316 1.0676三 -0.10 -0.13 -0.04 0.0196 0.0170一 -0.62 -0.78 -1.40 1.9600 0.9928200 二 0.18 0.04 0.22 0.0484 0.0340三 -0.11 0.09 -0.02 0.0004 0.0202一 1.32 1.36 2.68 7.1824 3.5920300 二 1.50 1.42 2.92 8.5204 4.2664三 1.57 1.51 3.08 9.4864 4.7450一 1.66 1.92
17、3.58 12.8164 6.4420400 二 1.47 1.63 3.10 9.6100 4.8178三 1.50 1.40 2.90 8.4100 4.210013.62 63.5772 32.9218利用 xij列，列成表 9.2地 块一 二 三ix 2ix100 -1.84 -1.46 -0.14 -3.44 11.8336200 -1.40 0.22 -0.02 -1.20 1.4400300 2.68 2.92 3.08 8.68 75.3424施肥量400 3.58 3.10 2.90 9.58 91.7764jx3.02 4.78 5.82 13.62 180.39242j9.1204 22.8484 33.8724 65.8412
