1、名名师堂 校区地址： 南充 市顺庆区吉隆街 咨询电话：2244028 优学小班提分更快、针对更强、时效更高 构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用 “ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：()()SAS用用用用
2、或搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考1截长补短法例 1如图（1）已知：正方形 ABCD 中，BAC 的平分线交 BC 于 E，求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长 AB 至 F 使 AF=AC，由已知AEFAEC，F=ACE=45，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在 AC 上截取 AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE= ABE,ACE=45, CG=EG,AB+BE=A
3、G+CG=AC2平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,有时可作出斜边的中线例 2ABC 中，BAC=60，C=40AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80 ，又AQO= C+ QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO ，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO ，DBO=DOB，BD=OD， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=A
4、Q+BQ 说明：本题也可以在 AB 截取 AD=AQ，连 OD，AB CPQD OOAB CPQ D图（2）AB CPQD E图（3）OAB CDFEG图（1）构造全等三角形，即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 来解决 如图（3），过 O 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，则ADOAQO，ABO AEO 来解决 如图（4），过 P 作 PDBQ 交 AB 的延长线于 D，则APD APC 来解决 如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABP ADP 来解决（本题作平行线的
5、方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例 3 如图 3 所示，已知点 、 分别在正方形 的边EFABCD与 上，并且 平分 ，求证： 。BCDADFE分析：本题要证的 和 不在同一条直线上，因而要设法B将它们“组合”到一起。可将 绕点 旋转 到 ，90G则 ， = ，从而将 转化为线段FGEFBE，再进一步证明 即可。证明略。EA4倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例 4如图（7）AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF求证
6、：AC=BF证明：延长 AD 至 H 使 DH=AD，连 BH，BD=CD，BDH=ADC，DH=DA，BDHCDA，BH=CA，H=DAC，又AE=EF，DAC=AFE，AFE=BFD，AFE= 图（7）BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF 5、过手练习：（1）已知：E 是正方形 ABCD 的边长 AD 上一点，BF 平分EBC，交 CD于 F，求证 BE=AE+CF. EAB CDFHAB CPQ图（4）DOAB CPQ图（5）DO图 3CBAEFAB CDEF（2）.如图,ABD 和ACE 是ABC 外两个等腰直角三角形,BAD=CAE=90 0.（1）判断 CD 与BE 有怎样的
7、数量关系;（2）探索 DC 与 BE 的夹角的大小.（3）取 BC 的中点 M，连 MA，探讨 MA与 DE 的位置关系。6翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形例 5如图（8）已知：在ABC 中，A=45, ADBC，若 BD=3，DC=2， 求：ABC 的面积解：以 AB 为轴将ABD 翻转 180，得到与它全等的ABE，以 AC 为轴将ADC 翻转 180，得到与它全等的AFC，EB、FC 延长线交于 G，易证四边形 AEGF 是正方形，设它的边长为 x，则 BG=x3，CG=x2，在 RtBGC 中，（x-3 ） +（x-2） =5
8、 22解得 x=6，则 AD=6，SABC= 56=15 图（8）1例 6已知：如图（6），P 为等边三角形ABC 内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5 ，求APB 的度数分析：直接求APB 的度数，不易求，由 PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形略解：将BAP 绕 A 点逆时针方向旋转 60至ACD ，连接 PD，则BAP ADC，DC=BP=4，AP=AD，PAD=60，又PC=5，PD +DC =PC 图（6）22PDC 为 Rt, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150、平移法构造全等三角形例 如图所示，四边形 中， 平分 ，若 ， ，求证：A
9、BCDABDCB。180BD分析：利用角平分线构造三角形，将 转移到 ，而 与 互补，ECE，从而证得 。主要方法是：“线、角进行转移”。CE180AB CDEGFAB CPD图EBA证明：在 上截取 ，ABEAD在 与 中，DCA （SAS）CE , ,D ,B ， , CE ,180A .BD、翻折法构造全等三角形例 如图所示，已知 中， ， ， 平分 ，求证：BCA90CBDABC。AC证明： 平分 ，将 沿 翻折后，点 落在 上的点 ，则有 ，BDDEE在 与 中，ECBD （SAS）E , ,90ACDE 已知 中， ， ，B90ACB ,45 ,ED ,A 。BCD4、延长法构造全
10、等三角形例 4 如图 4 所示，在 中， ，B2AB，求证： 。ADD图 2ECAD图 4CBAE分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长 至 ，使 ，构造 ，然后证明 ，ACEABDAECED就可得 。ABD5、截取法构造全等三角形例 5 如图 5 所示，在 中，边 上的高为 ，又 ，求证：B2。C分析：欲证明 ，可以在 上截取一线段等于 ，再证明另一线段等于 。DACDBDAB如果截取 （如图所示），则 可认为而 沿 翻折而来，从而只需
11、证明EEA即可。 证明略。A除了上述的方法外，还可以根据题意和以图形中现有的边和角关系为基础构造全等的三角形。D图 5CBE例 6、已知BAC=90，AB=AC ，M 是 AC 边的中点， ADBM 交 BC 于 D，交 BM 于 E，求证：AMB=DMC1、作业：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分BAD、ABC.（1）求证：AEBE ；（2）求证：E 是 CD 的中点；（3）求证：AD+BC= AB.B CEA DO EDCBA2如图ABC 中，A=50 0，ABAC，D 、E 分别在 AB、 AC 上，且BD=CE,BCD=CBE，BE、C
12、D 相交于 O 点，求BOC 的度数.3ABC 中，D 是 BC 中点，DE DF，E 在 AB 边上，F 在 AC 边上，判断并证明 BE+CF 与 EF 的大小？.4已知：如图，在ABC 中，A=90，AB=AC ，1= 2， 求证：BC=AB+AD（分别用截长法和补短法各证一次）AB CDEFA21CBD5、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC ，BAC=90，1=2，CEBD 的延长线于 E.求证：BD=2CE.6已知，如图，在正方形 ABCD 中 AB=AD，BD90（1）如果 BEDFEF ，求证： EAF45；FA 平分DFE（2）如果EAF45 ，求证：BEDFEFFA 平分DFE（3）如果点 F 在 DC 的延长线上，点 E 在 CB 的延长线上，且DFBEEF ，求证： EAF 45；FA 平分DFE（画图并证明）AB CDEF
