1、综合除法与余数定理一、知识提要与典型例题综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。（一）、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式除以除式 得商式 及余式 时，就有下列等式：)(xf )0(),xg)(xq)(xr。(rq其中 的次数小于 的次数，或者 。当 时，就是 能r 00)(r)(xf被 整除。)(g下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算综合除法。例 1、用综合除法求 除以 所得的商和余式。34712xx2解： 余 式商 的
2、各 项 的 系 数 82632407 的商是 ，余式是 8。)()741(34xx 2632xx上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。（2）把除式的第二项-2 变成 2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。（3）把被除式的第一项的系数 2 移到横线的下面，得到商的第一项的系数。（4）用 2 乘商的第一项的系数 2，得 4，写在被除式的第二项的系数-7 的下面，同-7 相加，得到商的第二项系数-3。（5）用 2 乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数 0 的下面，同 0 相加，得到商的第三项的系数-6。（6）用 2 乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被
3、除式的第四项的系数 14的下面，同 14 相加，得到商的第三项系数 2。（7）用 2 乘商的常数项 2，得 4，写在被除式的常数项 4 的下面，同 4 相加，得到余式 8。前面讨论了除式都是一次项系数为 1 的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是 1，能不能利用综合除法计算呢？例 2、求 的商式 Q 和余式 R。)23()162103( xx解：把除式缩小 3 倍，那么商就扩大 3 倍，但余式不变。因此先用 去32x除被除式，再把所得的商缩小 3 倍即可。 541612332080Q= ， R=6。2x下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综
4、合除法来求商和余式。例 3、用综合除法求 的商 Q 和余式)23()41073( 2234 xxxR。解： 23123469107Q= ， R= 。52x23x（二）、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（17301783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式 除以 所得的余数等于 。)(xfa)(af略证：设 RQf)(将 x=a 代入得 。a例 4、确定 m 的值使多项式 能够被 x-1 整除。mxxf 183)(345解：依题意 含有因式 x-1，故 。)(xf 01f1311。可得17。求一个关于 x 的二次多项式，它的二次项系数为 1，它被 x-3 除余 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余数相同。解：设 baxf2)( 被 除余 1， x3139)(baf 被 除和 除所得的余数相同，)(f2xbaf 412即由得 ，代入得3a1 。)(2xf注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。即： 1)(3)(2)(12 pxRnxRmba由 ，可得nxRx2)(1 ,m再由 ，解得 。13p0p 。32f
