1、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例 1. 如图， 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与ABCBC 延长线相交于 F，求证： BEB D A C F E证明：过点 C 作 CG/FD 交 AB 于 GB G D A C F E小结：本题关键在于 ADAE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例 2. 如图，ABC 中，ABAC，在 AB、AC
2、上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：AB DF=ACEF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲 证 ， 需 证 ， 而 这 四 条 线 段 所 在 的 两 个 三 角 形 显 然ABDFCEABEFD不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过 E 作 EM/AB，交 BC 于点 M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似） 。EMABCABEC即 ， AM同 理 可 得 FDF，又 ，（ 为 中 间 比 ） ，ACE， ABCE方法二：如图，过 D 作 DN/EC 交 B
3、C 于 N则 有 ， ，BDNACABDN， 即 （ 比 例 的 基 本 性 质 ）同 理 ，ECFNDBEC， 而 （ 已 知 ）（ 为 中 间 比 ） ，ACFDAF，二、作垂线3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求证： 。2AFDAEB BCNM证明：过 B 作 BMAC 于 M，过 D 作 DNAC 于 N AE （1）ACEACEB又 （2）DNFNCFD（1）+（2） )(AMA又 AN=CM BM 2)(CAFAE三、作延长线例 5. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC ，若BCD 的平分线 CHAB 于点H
4、，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长 BA、CD 交于点 PCHAB，CD 平分BCDCB=CP ，且 BH=PHBH=3AHPA：AB=1：2PA：PB=1：3ADBCPAD PBC ： ： SPADBC19 HP2 ： 四 边 形PADACD7 四 边 形SH1 PAD6 BC 54 SHPBC127例 6. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF
5、 BF2解析：欲证式即 由“三点定形” ，BFG 与 CFG 会相似吗？显然不可FGCB能。 （因为 BFG 为 Rt） ，但由 E 为 CD 的中点，可设法构造一个与 BFG 相似的三角形来求解。不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H则 ECFHDGA 又 ED=EC FG=FH 又易证 RtCFHRtGFB FGFH=CFBF BFGFG=FH FG 2=CFBF四、作中线例 7 如图， 中，ABAC，AE BC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求ABCAC。解：取 BC 的中点 M，连 AM AB AC AM=CM 1=C又 BD=DC DCBDB1 又 DC=
6、1 MC= BCACBA21 （1）2又 又 EC=1 （2）ERtt BCEC2由（1） （2）得， 42AC3小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC 中点 M，构造 与A相似是解题关键DBC综合练习题1、在ABC 中，D 为 AC 上的一点，E 为 CB 延长线上的一点，BE=AD，DE 交 AB 于F。求证：EFBC=ACDF2、 中， ，AC=BC，P 是 AB 上一点， Q 是 PC 上一点（不是中点） ，ABC90MN 过 Q 且 MNCP，交 AC、BC 于 M、N，求证： 。CNMPBA:3、. 理由？如 图 ， 中 ， ， ， 那 么 吗 ？ 试 说 明
7、ABCBDACACD2（用三种解法）1、证明：过 D 作 DGBC 交 AB 于 G，则DFG 和EFB 相似， BEAD,DGFBE由 DGBC 可得ADG 和ACB 相似， GFAE AC由得， EF BCACDFBCDFBCEA2、证明：过 P 作 PEAC 于 E，PFCB 于 F，则 CEPF 为矩形 PF EC / 45BA EC=PF ARtBt P:（1） 在 和 中：CPMN 于 Q CFBCNM又 90QN90QCN 即 （2）由（1） （2）得PERtMt ECBA3、 方法一：如图（1） ，设 BC 中点为 E，连接 AE。图（1）ABCEBAECBDBCAE90ADCEB122方法二：如图（2） ，在 DA 上截取 DE=DC图（2）在BED 与BCD 中，BDCEBDCBECDBECA90ABEABC22方法三：如图（3） ，过 B 作 BEBC 于 B，交 CA 的延长线于 E。图（3）ABCABEEABECA90易 得 RtCBDtBCDEABAD22
