1、相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（
2、1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a：bm：n（或 ）nba2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 dc4、比例外项：在比例 （或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项：在比例 （或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项：在比例 （或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 （或 a:bb
3、:c 时，我们把 b叫做 a 和 d 的比例中项。8.比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 （或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）bcadcb2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()abcdbbca， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项4.合比性质： （分子加（减）分母,分母不变）dcbd注意：实际上，比例
4、的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如： dcbadcb5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 ，那么 )0(nfdbnmfedcba banfmeca注意：(1)此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法k(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立知识点三：黄金分割1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ AC BC） ，如果，即 AC2=ABBC，那么称线段 AB 被点 C
5、黄金分割，点 C 叫做线段ABCAB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。其中0.618 。215AB2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.ABDECF或 等作法：过点 B 作 BDAB，使 ；连结 AD，在 DA 上截取 DE=DB；在 AB 上截取 AC=AE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.
6、例. 已知 l1l 2l 3, A D l1B E l2C F l3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由 DEBC 可得： .此推论较原定理应用更加ACEBDAECDB或或广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条
7、直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ABE 中 BDCE 简记： DEABC下上下上 归纳： 和 推广：类似地还可以得到 和 全上全上 全下全下 EDAB CADBEC三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.EDCBAFEDCBAEDAB CAE DCB三角形一
8、边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：ADBECF, .,ABDECFABDE2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示： . FDEA重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三
9、角形1、 相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等） ；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如ABC 与DEF 相似，记作ABC DEF。相似比为 k。4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平
10、行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(此定理用的最多)判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似直角三角形相似判定定理:.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 1.直角三角形被斜边上
11、的高分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 与 原 直 角 三 角 形 相 似 ， 并 且 分 成 的 2两 个 直 角 三 角 形 也 相 似 。 补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD=ADBD， AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推 论 一 ： 顶 角 或 底 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 二 ： 腰 和 底 对 应 成 比 例 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 三 ： 有 一 个 锐 角 相 等
12、的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 。 推 论 四 ： 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 都 相 似 。 推 论 五 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成 比 例 ，那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 。相似三角形的性质相似三角形对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.2、 相似的应用：位似1）定义：如果两个多边形不仅相似
13、，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比） 。每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。巩固练习：典型例题例 1、.弦 A
14、B 和 CD 相交于o 内一点 P,求证:PAPB=PCPD例 2：如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于E,交 BC 的延长线于 F求证： ABF CAF例 3、如图：在 Rt ABC 中， ABC=900，BDAC 于 D，若 AB=6 ；AD=2 ； 则AC= ；BD= ；BC= ；例 4、 如图：在 Rt ABC 中， ABC=900，BDAC 于 D ，若 E 是 BC 中点，ED 的延长线交 BA 的延长线于 F，OP DC BAE FDCBADCBAFDE CBA求证：AB : AC=DF : BF例 5.如图：小明想测量一颗大树 AB 的高度
15、，发现树的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 CB 上，测得 CD=4m,BC=10m，CD 与地面成 30 度角，且测得 1 米竹杆的影子长为 2 米，那么树的高度是多少？针对性练习1、 判断所有的等腰三角形都相似 （ ）所有的直角三角形都相似 （ ）所有的等边三角形都相似 （ ）所有的等腰直角三角形都相似 （ ）2、t ABC 的斜边 AB 上有一动点 （不与点 A、 B 重合 ） ，过 点作直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，则满足这样条件的直线共有多少条，请你画出来。3.如果两个相似三角形的面积之比为 1:9,则它们对应边的比为 ；对应高的比为 。周长的比为 。4.如果两
16、个相似三角形的面积之比为 2:7,较大三角形一边上的高为 ，则较小三角形对应边上的高为 。10.如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B，当他走到点 P 时，发现他身后影子的顶部刚好ABDCPDQ BCA接触到路灯 A 的底部，当他向前再步行 12m 到达点 Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部，已知小华的身高是 1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设 AP =x(m)。(1)求两路灯之间的距离；(2)当小华走到路灯 B 时，他在路灯下的影子是多少？常见的相似三角形小结：二、巩固练习：1、有一张比例尺为 1 4000 的地图上，一块多边形地区的周长是 60cm，面积是
17、250cm2，则这个地区的实际周长是 m，面积是 m 22、 有一个三角形的边长为 3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为 7，则另一个三角形的周长为 ，面积是 。3、两个相似三角形的对应角平分线的长分别为 10cm 和 20cm，若它们的周长的差是 60cm，则较大的三角形的周长是 ，若它们的面积之和为 260cm2，则较小的三角形的面积为 cm 24、照相机镜头的取景框长 16 毫米。为了风景照的视觉效果最好，人像应在取景框长的黄金分割点处。如图，要拍左侧的风景，人站在右侧，则人像应距左边框_ _毫米。EDCBA OCDBA CBAD EO AC DBED CBA DCBA5、如图
18、，若 ABC 的中线 AD 和中线 BE 交于点 G，ABG 的面积如图，若 ABC 的中线 AD 和中线BE 交于点 G，ABG 的面积为 4，ABC 的面积为_。6、如图，矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，若 BE=4，DE=9,则矩形的面积是 。7、 下列各组的两个图形，一定相似的是（ ）A、两条对角线分别对应成比例的两个平行四边形；B、有一个角对应相等的两个菱形；C、 等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形；D、对应边成比例的两个多边形。9、如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE 交 BC 于点 E，交 BD 于点F，且 BE2=EFEA。求证：AB 2=BFBD。10、如图，在ABC 中，已知 EFAC，D 是 BC 上一点，连接 AD，则ABD 与BEF 的面积相等。求证：BE 2=BDBC。11、如图，由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC；在网格上画出一个与ABC 相似且面积最大的A 1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，求A 1B1C1的最大面积。ABDCFAB CDEAB CFEDBCA
