1、 极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式： ,abR221abab即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是 .ab我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： lnab那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式， ,abl2ab 以下简单给出证明：不妨设 ，设 ，则原不等式变为：abx2(1)1,lnxx以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目 1：（2015 长春四模题）已知函数 有两个零点 ，则下列说法错误的()xfea12x是 A. B. C. D.有极小值点 ，且ae12x12x0120x【答案
2、】C【解析】函数 导函数：()f ()xfea有极值点 ，而极值 ， ，A 正确.lnxa(ln)l0fa有两个零点： ， ，即：()f10xe2xe11lnax22x-得： 1212lnxx根据对数平均值不等式： 121212lnxx，而 ， B 正确，C 错误12x12x12而+ 得： ，即 D 成立.1lnlaa题目 2：（2011 辽宁理）已知函数 .2n()fxxa若函数 的图像与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：yfxx,ABAB0x0【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设 ， ， ，则 ， 1(,)Axf2(
3、,)Bxf12x120x11ln()a22xx-得： ，化简得： 1212121ln()()0xa2121()()lnxxa而根据对数平均值不等式： 1212lnx等式代换到上述不等式12012 01()()()xxaxaax根据： （由得出）式变为： 002()ax2000()(21)xx ， ， 在函数单减区间中，即：0(21)x01xa0x0()fx题目 3：(2010 天津理) 已知函数 .如果 ，且 .xfeR12x12ffx证明： .12x【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设 ，则 ， ， 两边取对数12()fxfc1x
4、ce2x12()xlnlc2x-得： 12lnx根据对数平均值不等式 1212lnxx12x题目 4：（2014 江苏南通市二模）设函数 ，其图象与 轴交于xfeaaRx两点，且 .12,0,AxB12x证明： （ 为函数 的导函数）.10fffx【解析】根据题意： ， 移项取对数得：10xea20ea1ln()lx2-得： ，即： 121ln()l()xx12()1ln()lx根据对数平均值不等式： 1212()()() 1lnlxx，+得：1212()ln0x12l()lnxaxa根据均值不等式： 122l函数 在 单调递减()fx,ln)a 12()0fx题目 5：已知函数 与直线 交于 两点.()lfxym12,(,)AyBx求证： 120e【解析】由 ， ，可得：lnxm2lnx， 1lx2lnx-得： 211212 12ln()lnlnxxmxmx+得：2112(l)nxx根据对数平均值不等式 121212()lnxmx利用式可得： 1212(l)nlnxx由题于 与 交于不同两点，易得出则ymlnx 0m上式简化为: 212ln()lnxe 120xe
