1、第 10 讲 图形的位似【学习目标】1、熟记位似图形的概念及性质；知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小；2、位似图形坐标的变化规律【学习过程】一： 问题一：位似图形的有关概念1、观察下图，有相似多边形吗？如果有，这种相似图形有什么特征？二、归纳总结：知识点 1、位似多边形的概念：如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P所在的直线都经过同一点 O，且有 OP=kOP（k0） ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心，k 就是相似比。例如下图：知识点 2、位似多边形的性质：位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上
2、；位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上；位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。注意：对某一图形进行放大（或缩小） ，使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。【例题解析】例 1、ABC 与 关于点 O 位似，BO=3，CBA 6B(1)若 AC=5，求 的长；(2)若ABC 的面积为 7，求 面积。知识点 3、位似多边形的画法：步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点。通常是多边形的顶点；（3）确定相似比；（4）找出新图形的对应关键点；（5）顺次连接各点，得到放大或缩小的图形。例 2、把图 1 中的四边形 ABCD 缩小到原来的 21作法一：（1）在
3、四边形 ABCD 外任取一点 O；（2）过点 O 分别作射线 OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 A、B、C、D，使得 ；21DCBA顺次连接 AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形 ABCD，作法二：（1）在四边形 ABCD 外任取一点 O；（2）过点 O 分别作射线 OA， OB， OC，OD；（3）分别在射线 OA， OB， OC， OD 的反向延长线上取点 A、B、C、D，使得 ；21DCBA（4）顺次连接 AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形 ABCD，如图 3 作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点 O；二、尝试应用1画出所给图中
4、的位似中心 AB CABC 24682 4 6 8-2-4-6-8-2-4-6-8ABCD2、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心3 （2009 年广西南宁）三角尺在灯泡 O的照射下在墙上形成影子.现测得 20cm50cOA， ，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 4.（2010 丹东市）如图， 与 是位似图形，且位似比是 ，若 AB=2cm，则 cm，并ABC 1:B在图中画出位似中心 O5把右图中的五边形 ABCDE 扩大到原来的 2 倍四、自主探究问题一：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点 A(6,3)，B(6,0)以原点 O
5、为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩31小观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？AAO灯 三角尺投影yxOAB C1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121234567891011（2）如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？问题二：1、如图，四边形 ABCD 的坐标分别为 A（6，6） ， B（8，2） ， C（4，0） ， D（2，4） ，画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为 的位似图形12知识点 4、平面直角坐标系中的位似变换：1、位似多边形对
6、应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数 k（k0） ，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是 。k注意：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形的变化规律；（2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为-k；（3）当 k1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0k1 时，图形缩小为原来的 k1 （2009 年福州）如图，正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的，若 AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）A2DE=3MN， B3DE=2MN，
7、 C3A=2F D2A=3F2. (2010 年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小 “鱼”上一个“顶点”的坐标为 ，()ab，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）、 、(2)ab， ()ab，、 、， 2，六、补偿提高1 （2009 年山西省）如图， ABC 与 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 2、如图，图中的小方格都是边长为 l 的正方形，EDCNMHGF BA ABC 与 是关于点 0 为位似中心的位似图形，ABC它们的顶点都在小正方形的顶点上(1)画出位似中心点 0；(2)求出 ABC 与 的相似比；(3)以点 0 为位似中心，再画一个 ，使
8、它与1ABCABC 的相似比等于 l5例 3、画图，将图中的ABC 作下列运动，画出相应的图形（1）沿 y 轴正向平移 2 个单位；（2）关于 y 轴对称；（3）以 B 点为位似中心，放大到 2 倍2、位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系与区别位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换。3、平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律（1）平移变换：对应点的横、纵坐标加上或减去平移的单位长度；（2）轴对称变换：以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以 y 轴为对称
9、轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；（3）旋转变换：一个图形绕原点旋转 180，则旋转前后两个图形对应点的横、纵坐标都互为相反数；（4）位似变换：当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横、纵坐标之比的绝对值等于相似比。【经典练习】1用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ）A只能选在原图形的外部； B只能选在原图形的内部；C只能选在原图形的边上； D可以选择任意位置。2已知：E（4，2） ，F（1，1） ，以 O 为位似中心，按比例尺 12，把EOF 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标为（ ）A （2，1）或（2，1） B （8，4）或（8，4）C （2，1）
10、D （8，4）3如图，DEF 是由ABC 经过位似变换得到的，点 O 是位似中心，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，则DEF与ABC 的面积比是（ ）A12 B14 C15 D164.（2014 武汉， 第 6 题 3 分）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ）5、 （2013遵义）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点 M，N 从点 C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0t2.5） （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？6、 （2013 福建省福州 21）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B=45 ，P 是 BC 边上一点，PAD 的面积为1/2，设 AB=x，AD=y（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若APD=45 ，当 y=1 时，求 PBPC 的值；
