1、- 1 -等腰三角形练习知识梳理知识点 1：等腰三角形的性质定理 1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）（2）符号语言：如图，在ABC 中，因为 AB=AC，所以B=C（3）证明：取 BC 的中点 D，连接 AD在ABD 和ACD 中ABDACD（SSS）B=C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点 2：等腰三角形性质定理 2（1） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一” ）（2）符号语言：AB=AC，1=2 AB=AC，ADBC AB=AC，BD=DCADBC，BD=DC 1
2、=2，BD=DC 1=2，ADBC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条” 。知识 3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边” ）（2）符号语言：在ABC 中,B=C AB=AC （3）证明：过 A 作 ADBC 于 D，则ADB=ADC=90。在ABD 和ACD 中ABDACD （AAS）AB=AC（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转
3、化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。说明：本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线） 。证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。知识点 4：等腰三角形的推论1. 推论：推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。P QM N G - 2 -推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。知识点 5： 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有
4、关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。一、知识点回顾等腰三角形的性质：ABC 中，AB=AC点 D 在 BC 边上（1）AB=AC， _=_；（即性质 1）（2）AB=AC，AD 平分BAC，_=_；_；（即性质 2）（3）AB=AC，AD 是中线，_=_；_；（即性质 2）（4）AB=AC，ADBC，_=_；_=_ （即性质 2）等腰三角形的判定：ABC 中，B=C _
5、=_二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80，则它的另两角为_第2题. 在 ABC中， ABC= C=2 A， BD是 ABC的平分线， DE BC，则图中等腰三角形的个数是（ ）A2 B3 C4 D5第3题. 如图1， MNP中， P=60， MN=NP， MQ PN，垂足为 Q，延长 MN至 G，取 NG=NQ，若 MNP的周长为12， MQ=a，则 MGQ周长是（ ）图1 图2 图 3 图 4A8+2 a B8+ a C6+ a D6+2 a第4题. 如图2， O是 ABC中 ABC和 ACB的平分线的交点， OD AB交 BC于 D， OE AC交 BC于 E点，若BC=10
6、cm，那么 ODE的周长为（ ）A8cm B9cm C10cm D11cm第5题. 如图3，已知: P， Q是 ABC边上 BC上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，求 BAC的度数第 6 题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为 6，则腰上的高为_第7题. 如图4， DE是线段 BC垂直平分线上两点，连 DB、 DC、 EB、 EC，则 DBC与 DCB的关系是_， DBE与 DCE的关系是_第 8 题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大 30，则这个三角形各内角度数是_第 9 题. 等 腰三角形有一个角是 50，那么其他两个角的度数是_第10题. 如 图5， AB=AC， FD BC
7、于 D， DE AB于 E，若 AFD=145，则 EDF=_O ED A QCPB D B C - 3 -图 5 图 6第11题. 如图6，, ABC是等腰三角形， D为 BC上一点， DE AB且交 AC于 E，请判断 EDC是什么三角形?并说明理由第12题. 如图7，已知 AE平分 DAC， AE BC，那么 AB=AC吗?请简要说明理由图7 图8 图9第13题. 如图8， PQ为Rt MPN斜边上的高， M=45，则图中等腰三角形的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个来源第14题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）A9 B12 C15 D12 或 1
8、第15题. 如图9，在 ABC中， AB=AC， A=50， P是 ABC内一点， PCB= PCA，且 PBC= PBA，则 BPC度数为（ ）A115 B100 C130 D140第16题. 下列命题正确的个数是（ ）如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等A1 个 B2 个 C3 个 D4 个第17题. 等腰三角形顶角是84，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）A42 B60 C
9、 36 D 46第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ）A120 B 150 C60 D90第19题. 如图10， ABC中， AD BC， AB=AC， BAD=30，且 AD=AE，则 EDC等于（ ）A10 B125 C15 D 20图 10 图 11 图 12A FE CB A C BEDD BEC BAC D A B C A ED PQ N PA C B - 4 -第20题. 如图11， ABC中，点 D在 AC上，且 AB=AD， ABC= C+30，则 CBD等于（ ）A15 B 18 C 20 D 22.5第21题. 已知:如图12， AB=AC， BD AC，
10、请探索 DBC与 A的关系并说明理由第22 题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）A等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D不等腰钝角三角形第23题. 如下图，在 ABC中， AB=AC， A=36， BD、 CE分别是 ABC、 ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ）A12 B10 C9 D8第24题. 一个等腰三角形的一个内角为90，那么这个等腰三角形的一个底角为（ ）A90 B 45 C 50 D 22.5第25题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）A37cm B29cm C37cm或29cm D无法确定第26
11、题. ABC中， ACB=90， DE是 AB的垂直平分线，且 BAD CAB=13，则 B等于_度第 27 题. 已知 Rt ABC 是轴对称图形，且 C90，那么 B_ 度， A_度；点 A 的对应点是_，点 C 的对应点是_第 28 题. 在 ABC 中，边 AB、 BC 的垂直平分线相交于点 P，则PA、 PB、 PC 的大小关系是_第29题. 如图，在 ABC中， AB AC， D， E分别是 BC边上的两点，且满足 AD AE=BD=CE，则图中与 B相等的角有_个角，分别是_ 图中全等的三角形有_对，分别是_第30题. 已知线段 a， b（ a2b），以 a、 b为边作等腰三角形
12、，则（ ）A只能作以 a为底边的等腰三角形B只能作 以 b为底边的等腰三角形C可以作分别以 a、 b为底的等腰三角形D不能作符合条件的等腰三角形第 31 题. 如图，在 ABC 中， BC=5 cm， BP、 CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线，且 PD AB， PE AC，则 PDE 的周长是_ cm.第 32 题如图，E 是等边ABC 中 AC 边上的点，1=2，BE=CD ，则对ADE 的形状最准备的判断（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C不等边三角形 D不能确定形状二、解答题1如图，已知 AB=AC，E、D 分别在 AB、AC 上，BD 与 CE 交于点 F，且ABD= AC
13、E，AD E C B OA B C D E A D C B E E DCABF21EDCAB- 5 -求证：BF=CF2如图，ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DF AC于 F 交 BC 于 E，求证：DBE 是等腰三角形3. 如图, 已知：点 D,E 在ABC 的边 BC 上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE4. 如图：ABC 中,AB=AC,PB=PC 求证：AD BC5. 已知：如图,BE 和 CF 是 ABC 的高线,BE=CF,H 是 CF、BE 的交点求证：HB=HC6如图，ABC 中，AB=AC ，BAC=120，AD AC 交 BC于点D， 求证：
14、BC=3AD.7如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上， ABC 和 CDE都是等边三角形BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H，求证：BCE ACD；求证：CF=CH；判断CFH 的形状并说明理由EDCABFD CAB EDCABHF- 6 -8.已知:如图，BDE 是等边三角形， A 在 BE 延长线上，C 在 BD 的延长线上，且 AD=AC。求证： DE+DC=AE。9. 如图,ABC 中,D 在 BC 延长线上,且 AC=CD,CE 是 ACD 的中线,CF 平分 ACB,交 AB 于 F,求证 :(1)CECF;(2)CF AD.三、探究题1如图，点 E 是等边ABC 内一点，且 EA=EB，ABC 外一点 D满足 BD=AC，且 BE 平分DBC，求BDE 的度数 （提示：连接 CE）2如图，AF 是ABC 的角平分线，BD AF 交 AF 的延长线于D，DEAC 交 AB 于 E，求证：AE=BE3如图，ABC 中，C=2B，1=2 ，试说明：AB=AC+CD 4. 如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E为 BC 延长线上一点，且 CECD，DMBC，垂足为EDCAB FA D 1 B M C E EDCAB- 7 -M。求证：M 是 BE 的中点。
