1、等边三角形培优讲义1、等边三角形的性质：（1） 等边三角形的三条边相等，三个角都等于 60;（2） 等边三角形每个角的平分线与所对的中线，高线互相垂直;（3） 等边三角形的每条边上的中线、高线以及所对角的平分线相等.2、等边三角形的判定:（1）三条边相等的三角形是等边三角形;（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;（3）有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形。例题讲解：1.下 列 三 角 形 ： 有 两 个 角 等 于 ； 有 一 个 角 等 于 的 等 腰 三 角 形 ； 三0606个 外 角 （ 每 个 顶 点 处 各 取 一 个 外 角 ） 都 相 等 的 三 角 形 ； 一 腰 上
2、 的 中 线 也 是 这 条腰 上 的 高 的 等 腰 三 角 形 其 中 是 等 边 三 角 形 的 有 （ ）A B C D 2.如图，ABC 为等边三角形，且 BM=CN，AM 与 BN 相交于点 P，则APN=（ ）A 70 B 60 C 50 D 不确定3.如图，C 为线段 AB 上一点，在 AB 的同侧作等边ACM 和等边BCN，连接AN、BM，若MBN=40，则ANB 的大小是（ ）A 60 B 65 C 70 D 804、如图 2，在线段 AE 同侧作两个等边三角形ABC 和CDE(ACE120)，点 P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，则CPM 是( )A.钝角
3、三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形5、如图，在ABC 中，AB=2，BC=3.6，B=60，将ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 _第二题 第三题6、如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=_7、如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD，ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，则 CE 的长度为_.8.将宽为 2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 PQ 的长是 9.如图，等边ABC 的三
4、条角平分线相交于点 O，ODAB 交 BC 于 D，OEAC 交BC 于点 E，那么这个图形中的等腰三角形共有_个。10.如图，将第一个图（图）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第七个图中，共有_个正三角形11、在等边ABC 中，AO 是BAC 的角平分线，D 为 AO 上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方坐等边CDE，连接 BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长 BE 至 Q，P 为 BQ 上一点，连接 CP、CQ 使 CP=CQ=
5、5，若 BC=8 时，求PQ 的长。12、在等边ABC 中的 AC 延长线上取一点 E,以 CE 为边做等边CDE，使它与ABC 位于直线 AE 的同一侧，点 M 为线段 AD 的中点，点 N 为线段 BE 的中点，求证：（1）CNM 为等边三角形；（2）若让CDE 绕 C 旋转，下列结论会发生变化吗？AD=BE；AD 与 BE 交角的度数；三角形 CNM 为等边三角形。13、已知 O 是等边ABC 内的一点，AOB、BOCAOC 的角度之比为6：5：4，求在以 OA、OB、OC 为边的三角形中，此三边所对的角度之比14.如图，在等边 中， 相交于点 于点 .ABCBEAD,ADBQP,求证：
6、 .PQ215、如图，ABC 是等边三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，以D 为顶点作一个 60的NDM，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接MN试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并加以证明16、如图，ABC 是等边三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，M是 AB 延长线上一点，N 是 CA 延长线上一点，且MDN=60，试探究BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明QPAB CED17、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，0） ，等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到OBD（1）AOC 沿 x 轴向右平移
7、得到OBD，则平移的距离是 个单位长度；AOC 与BOD 关于直线对称，则对称轴是 ；AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到DOB，则旋转角度可以是 度；（2）连结 AD，交 OC 于点 E，求AEO 的度数18.如图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是 1,求六边形的周长。19.如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，求 DE 的长20、如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q
8、 是 CB 延长线上一动点，与点 P 同时以相同的速度由B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PEAB 于 E，连接 PQ 交 AB于 D.（1）当BQD30时，求 AP 的长；（2）在运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由.21如图，点 E 是等边ABC 内一点，且 EA=EB，ABC 外一点 D 满足 BD=AC，且 BE 平分DBC，求BDE 的度数EDCAB22.如图， 已知等边三角形 ABC 中，点 D， E， F 分别为边 AB， AC， BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（
9、点 M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （1）如图，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图 图 图ABCD EFNM FEDCBANM FEDCBA23、（1）操作发现：
10、如图，D 是等边ABC 边 BA 上一动点（点 D 与点 B 不重合），连接 DC，以 DC 为边在 BC 上方作等边DCF，连接 AF你能发现线段 AF与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点 D 运动至等边ABC 边 BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想 AF 与 BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点 D 在等边ABC 边 BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合）连接DC，以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF，连接AF、BF，探究 AF、BF与 AB 有何数量关系？并证明你探究的结论如图，
11、当动点 D 在等边边 BA 的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论24、阅读与理解：图 1 是边长分别为 a 和 b（ab）的两个等边三角形纸片 ABC 和 CDE 叠放在一起（C 与 C重合）的图形操作与证明：（1）操作：固定ABC，将CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转 30，连接AD，BE，如图 2；在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图 1 中的CDE，绕点 C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连接 AD，BE，如图 3；在图 3 中，线段 BE 与 AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当 为多少度时，线段 AD 的长度最大是多少？当 为多少度时，线段 AD 的长度最小是多少？
