1、1相似三角形的动点问题题型一、动点型例 1、如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，DMN 也随之整体移动）（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变， （1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出
2、相应的图形，并判断（1）的结论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由例 2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时，EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动
3、，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、 G 为顶点的三角形相似？请说明理由2迁移应用1、如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ，（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（ cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APR PRQ ？2
4、、如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，D=90o，ACBC，AB=10cm, BC=6cm，F 点以 2cm秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm秒的速度在线段 BC上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5)1）求证：ACDBAC；2）求：DC 的长；3）试探究：BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90， AD=6，BC=8， AB=33，点 M是 BC 的中点点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度
5、沿 BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动在点 P，Q 的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形 ABCD在射线 BC 的同侧点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点 Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围） ；（2）当 BP=1 时，求EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在
6、某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由3二、动点加动线例 1、如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0
7、） （1）当 t=2 时， AP= ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 迁移应用1、如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s的速度向 A 点匀速运动，
8、问：是否存在时刻 t，使以 A、M、N 为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求 t 的值42、如图，正方形 ABCD 的边长为4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线AD 上，过 P 作 PFAE 于 F（1）求证：PFAABE；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由3、如图，已知 A（8，0） ，B（0，6） ，两个动点 P、Q 同时在OAB 的边上按逆时针方向（OABO）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单
9、位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位（1）在前 3 秒内，求OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式；（2）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于OAB 一边的情况，并求平行时点 P、Q 的坐标4、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB，点 A、C 的坐标分别为 A(-3,0)，C(1,0)， ,43ACB（1）求过点 A、B 的直线的函数表达式；（2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB，使得ADB 与ABC 相似（不包括全等） ，并求点 D的坐标；（3）在（2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设 AP=DQ=m，问是否存在这样的
10、 m 使得 APQ 与ADB 相似，如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由yxOBA COBxy55、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处已知折叠 CE= ，且543DAE（1）判断 OCD 与ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 L，使直线 L、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和CDE 相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由6、ABC 中，AB=AC=5
11、 ，BC=6，点 P 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 1 的速度向点 C 运动，点 Q 从点 C 开始沿 CA 边以每秒 2 的速度向点 A 运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交 BC 于点 E点 P，Q 分别从 B，C 两点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点Q、p 停止运动，设它们运动的时间为 x1）当 x=2 秒时，射线 DE 经过点 C；2）当点 Q 运动时，设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；3）当点 Q 运动时，是否存在以 P、Q 、C 为顶点的三角形与PDE 相似？若存在，求出 x的值；若不存在，请说明理由7、如图，梯形 AB
12、CD 中，ADBC，AB=CD=20cm，AD=40cm，D=120，点 P、Q 同时从 C 点出发，分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度沿着线段 CB 和线段 CD 运动，当 Q 到达点D，点 P 也随之停止运动设运动时间为 t（s）（1）当 t 为何值时，CPQ 与ABP 相似；（2）设APQ 与梯形 ABCD 重合的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，写出自变量的取值范围O xyC BED A68、如图，直角梯形 ABCD 中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度
13、，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动过点 M 作直线 lAD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t（秒） （1）当 t=0.5 时，求线段 QM 的长；（2）当 0t2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值；（3）当 t2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 CQRQ 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由9、如图 1，直角梯形 ABCD 中，A=B=90，AD=AB=6cm，BC=8cm，点 E 从点 A出发沿 AD 方向以 1cm/s 的速度
14、向中点 D 运动；点 F 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速度向终点 A 运动，当点 E、点 F 中有一点运动到终点，另一点也随之停止设运动时间为ts（1）当 t 为何值时，AEF 和ACD 相似？（2）如图 2，连接 BF，随着点 E、F 的运动，四边形 ABFE 可能是直角梯形？若可能，请求出 t 的值及四边形 ABFE 的面积；若不能，请说明理由；（3）当 t 为何值时，AFE 的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中四边形 OABC 是平行四边形直线 l 经过 O、C 两点点 A 的坐标为（8，0） ，点 B 的坐标为（11，4） ，动点 P 在线段 OA
15、 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿ABC 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一 C-B 相交于点M当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为t 秒（t0） MPQ 的面积为 S（1）点 C 的坐标为 ，直线 l 的解析式为 。（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围（3）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交于点 N试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值7
