相似三角形综合大题.docx

1、相似三角形综合大题一解答题（共 30 小题）1 （2012昌平区二模）如图，在 RtABC 中，ABC=90 ，过点 B 作 BDAC于 D，BE 平分DBC ，交 AC 于 E，过点 A 作 AFBE 于 G，交 BC 于 F，交 BD于 H（1）若BAC=45 ，求证：AF 平分BAC ；FC=2HD（2）若BAC=30 ，请直接写出 FC 与 HD 的等量关系2 （2012香坊区二模）已知：在 ABC 中，ACB=90，AC=2BC，D 是线段 AC上一点，E 是线段 CD 上一点，过点 D 作 DFBE 交 BE 的延长线于点 F，连接CF（1）当点 D 是线段 AC 的中点时（如图

2、1） ，求证：BF DF= CF：（2）当点 D 与点 A 重合时，在线段 EF 上取点 G，使 GF= DF，连接 DG 并延长交 CF 于点 H，交 BC 延长线相交于点 P（如图 2） ，CH：HF=4：5，EG= ，求 PH 的长3 （2012西青区一模）在 ABC 中，ACB=90，ABC=30，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为 （0 180） ，得到 ABC（）如图，当 ABCB时，设 AB与 CB 相交于点 D证明：ACD 是等边三角形；（）如图，连接 AA、 BB，设ACA 和BCB的面积分别为 S1、S 2求证：S1：S 2=1：3；（）如图，设 AC 的中点为 E，

3、A B的中点为 P，AC=a，连接 EP求当 为何值时，EP 的长度最大，并写出 EP 的最大值 （直接写出结果即可） 4 （2012南岗区校级二模）在 ABC 中，已知BAC=45，高线 CD 与高线 AE相交于点 H，连接 DE（1）如图 1，ABC 为锐角三角形时，求证：AECE= DE；（2）如图 2，在（1）的条件下，作AEC 的平分线交 AC 于点 F，连接 DF 交AE 于点 G，若 BD= CF，AE=6，求 GH 的长5 （2012徐汇区校级模拟）在 OAC 中，AOC=90，OB=6，BC=12，ABO+ C=90，M、N 分别在线段 AB、AC 上（1）填空：cosC=

4、（2）如图 1，当 AM=4，且 AMN 与ABC 相似时，AMN 与ABC 的面积比为 ；（3）如图 2，当 MNBC 时，将AMN 沿 MN 翻折，点 A 落在四边形 BCNM 所在平面的点为点 E，EN 与射线 AB 交于点 F，设 MN=x， EMN 与ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围6 （2012道外区二模）已知：如图 1，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90 ，连接 AC，tan CAD= ，过点 D 作 DEAB，点 E 为垂足（1）求证： AE+BC=DE；（2）连接 BD，设 BD 与 AC 交于点 F，DE 与 AC

5、 交于点 G，若AG：FG=3 ：2 ，AE=6（如图 2） ，求线段 BC 的长7 （2012路南区一模）如图 ，在ABC 中，AB=BC， ABC=120，点 P 是线段 AC 上的动点（点 P 与点 A、点 C 不重合） ，连接 BP将 ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 角（0180） ，得到A 1B1P，连接 AA1，直线 AA1 分别交直线PB、直线 BB1 于点 E，F （1）如图，当 060时，在 角变化过程中，APA 1 与 BPB1 始终存在 关系（填“相似” 或“全等”） ，同时可得 A1AP B 1BP（填“=”或“ ”“”关系） 请说明 BEF 与AEP 之间具有相似

6、关系；（2）如图，设ABP= ，当 120180时，在 角变化过程中，是否存在BEF 与AEP 全等？若存在，求出 与 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图，当 =120时，点 E、F 与点 B 重合已知 AB=4，设 AP=x，S=A1BB1 面积，求 S 关于 x 的函数关系式8 （2012上虞市模拟）复习完“四边形”内容后，老师出示下题：如图 1，直角三角板的直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上移动，一直角边始终经过点 C，另一直角边交直线 AB 于点 Q，连接 QC求证：PQC=DBC（1）请你完成上面这道题；（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思

7、，提出许多问题，如：如图 2，若将题中的条件“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到PQC= DBC？如图 3，若将题中的条件“正方形 ABCD”改为“直角梯形 ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到PQC=DBC？请你对上述反思和作出判断，在下列横线上填写“是”或“ 否”： ； 并对、 中的判断，选择其中一个说明理由9 （2012上海模拟）已知：在 RtABC 中，C=90，AC=4，A=60，CD 是边AB 上的中线，直线 BMAC，E 是边 CA 延长线上一点，ED 交直线 BM 于点 F，将EDC 沿 CD 翻折得EDC，射线 DE交直线 BM 于点

8、G（1）如图 1，当 CDEF 时，求 BF 的值；（2）如图 2，当点 G 在点 F 的右侧时；求证：BDFBGD；设 AE=x，DFG 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）如果DFG 的面积为 ，求 AE 的长10 （2012道外区一模）已知：点 P 为正方形 ABCD 内部一点，且BPC=90 ，过点 P 的直线分别交边 AB、边 CD 于点 E、点 F（1）如图 1，当 PC=PB 时，则 SPBE、S PCF SBPC 之间的数量关系为 ；（2）如图 2，当 PC=2PB 时，求证：16S PBE+SPCF=4SBPG；（3）在（2）的条件下，

9、Q 为 AD 边上一点，且 PQF=90，连接 BD，BD 交 QF于点 N，若 Sbpc=80，BE=6求线段 DN 的长11 （2012太原一模）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 E，以点 E 为顶点作正方形 EFGH，使点 A、D 分别在 EH 和 EF 上，连接BH、AF（1）判断并说明 BH 和 AF 的数量关系；（2）将正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转 （0360） ，设 AB=a，EH=b，且 a2b如图 2，连接 AG，设 AG=x，请直接写出 x 的取值范围；当 x 取最大值时，直接写出 的值；如果四边形 ABDH 是平行四边形

10、，请在备用图中补全图形，并求 a 与 b 的数量关系12 （2012武汉模拟） （1）如图 1，在 ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，BD：DE：CE=1：2：3，线段 FGBC，分别交线段 AD，AE 于 M、N 两点，则有 FM： MN：NG= （2）如图 2，在ABC 中，BAC=90，正方形 DEGF 的四个顶点有ABC 的三边上，线段 FG 分别交线段 AD，AE 于 M、N 两点，若 BD=4，EC=9 ，求 MN 的长？（3）如图 3，在ABC 中，BAC=90，正方形 DEGF 的四个顶点在ABC 的三边所在的直线上，DA 与 EN 的延长线分别交直线 FG 于 M、N

11、两点，求证：MN2=MFNG13 （2012香坊区校级模拟）已知，等边 ABC 中，D 为 BC 上一点，DEAC 交AB 于 C，M 是 AE 上任意一点（M 不与 A、E 重合） ，连 DM，作 DN 平分MDC 交 AC 于 N（1）若 BD=DC（如图 1） ，求证：EM+NC=DM ；（2）在（1）的条件下，如图 2，作 DFAC 于 F，若 NF：FC=3：5，AM=4，连接 MN 将 DMN 沿 MN 翻折，翻折后的射线 MD 交 AC 于 P，连接 DP 交 MN 于点 Q，求 PQ 的长14 （2012香坊区一模）已知：在 ABC 中，AB=AC ，点 P 是 BC 上一点，

12、PC=2PB，连接 AP，作APD= B 交 AB 于点 D连接 CD，交 AP 于点 E（1）如图 1，当BAC=90 时，则线段 AD 与 BD 的数量关系为 ；（2）如图 2，当BAC=60 时，求证： AD= BD；（3）在（2）的条件下，过点 C 作DCQ=60交 PA 的延长线于点 Q 如图 3，连接DQ，延长 CA 交 DQ 于点 K，若 CQ= 求线段 AK 的长15 （2012 秋 大丰市期末）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图 1，已知：等边ABC 和等边 ADE，根据 （指出三角形的全等或相似） ，可得 CE 与 BD 的大小关系为： （2）如图 2，正方形 A

13、BCD 和正方形 AEFG，求： 的值；（3）如图 3，矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求： 的值 （用 k 的代数式表示）16 （2012 秋 东城区期末）如图 1，在等腰直角 ABC 中，BAC=90，AB=AC=2，点 E 是 BC 边上一点， DEF=45且角的两边分别与边 AB，射线 CA交于点 P，Q（1）如图 2，若点 E 为 BC 中点，将DEF 绕着点 E 逆时针旋转，DE 与边 AB 交于点 P，EF 与 CA 的延长线交于点 Q设 BP 为 x，CQ 为 y，试求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）如图 3，点 E

14、 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动（不与 B，C 重合） ，且 DE始终经过点 A，EF 与边 AC 交于 Q 点探究：在DEF 运动过程中，AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由17 （2012 秋 道外区期末）已知： ACB 与 DCE 为两个有公共顶点 C 的等腰直角三角形，且ACB= DCE=90，AC=BC，DC=EC把DCE 绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，设 BD 的中点为 N，连接 CN（1）如图，当点 D 在 BA 的延长线上时，连接 AE，求证：AE=2CN；（2）如图，当 DE 经过点 A 时，过点 C 作 CHBD，垂足为 H，

15、设 AC、BD相交于 F，若 NH=4，BH=16，求 CF 的长18 （2012 春 泰兴市校级期中）在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是边长为 1的正方形，其中点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 M 为 y 轴负半轴上一动点，点N 为 x 轴正半轴上一动点，且 NAM=45（1）试说明OANOMA；（2）随着点 N 的变化，探求 OMN 的面积是否发生变化？如果 OMN 的面积不变，求出OMN 的面积；如果面积发生变化，请说明理由；（3）当AMN 为等腰三角形时，请求出点 N 的坐标19 （2012 秋 亭湖区校级期中）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC， B=90

16、，CD=8，BC=12， ACB=30，E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正BEF，使正 BEF 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（l）当正BEF 的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长；（2）将（1）问中的正BEF 沿 BC 向右平移，记平移中的正BEF 为正BEF，当点 E 与点 C 重合时停止平移设平移的距离为 x，正B EF的边 BE和 EF分别与 AC 交于点 M 和点 N，连接 DM、DN：设正B EF与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围，当 DN 取得最小值时，求出 S 的值；是否存在这样的 x，使

17、三角形 DMN 是直角三角形？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由 20 （2012 秋 江阴市校级期中）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点例如：矩形 ABCD 中，点 C 与 A、B 两点可构成直角三角形 ABC，则称点 C 为 A、B 两点的勾股点同样，点 D 也是 A、B两点的勾股点（1）在矩形 ABCD 中，AB=12，BC=6 ，边 CD 上 A，B 两点的勾股点的个数为 个；（2）如图 1，矩形 ABCD 中，AB=12，BC=6 ，DP=4，DM=8，AN=5过点 P 作直线 l 平行于 BC，点 H 为 M、N 两点的勾股点，且点

18、H 在直线 l 上，求 PH 的长；（3）如图 2，矩形 ABCD 中，AB=12，BC=6 ，将纸片折叠，折痕分别与CD、AB 交于点 F、G，若 A、E 两点的勾股点为 BC 边的中点 M，求折痕 FG 的长21 （2012 春 沧浪区校级期中）已知，正方形 DEFG 内接于ABC 中，且点E，F 在 BC 上，点 D，G 分别在 AB，AC 上，（1）如图，若ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，A=90，S ADG=2，则SABC= （2）如图，若ABC 是直角三角形， A=90，AB=4，AC=3，求正方形的边长（3）如图，若ABC 是任意三角形，S ADG=1，S BDE=3，S

19、 FCG=1，则正方形的边长为 （4）如图，若ABC 是任意三角形，求证： 22 （2012 秋 哈尔滨月考）如图， ABC 和 CDE 均为等边三角形，BC 边上的中垂线 AM 交 BC 边于点 MCDE 绕着点 C 旋转，点 D 落在直线 AM 上（点D 不与点 A、M 重合）时停止，CDE 在 CD 边的下方，连接 BE（1）如图 1 所示，当点 D 在线段 AM 上，求证：BE+DM= BC；（2）在（1）的条件下，设直线 BE 交直线 AM 于点 N，如图 2 所示，若 ，且CDE 的面积为 ，求线段 BN 的长23 （2012 秋 南岗区校级月考）如图 1，BD 为矩形 ABCD

20、的对角线，DBC 的平分线 BE 交 DC 于点 E，DK BE 交 BE 的延长线于 K（1）若 tanDBC= ，求证：BE= DK（2）如图 2，在（1）的条件下，BED 绕点 E 顺时针旋转至 BED，B ED的两边分别交 BD、DK 于点 I、L，若已知：DL ：LK=5：3，IL=5，求 IB 的长？24 （2012 秋 靖江市校级月考）等边 ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N，设 BP=x （如图 1）（1）求证：AM=AN；（2）若 BM= ，

21、求 x 的值；（3）连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H （如图 2） ，当 x 取何值时，BAD=15？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由25 （2011北塘区二模）如图 1，在 ACD 中，AC=2DC，AD= DC（1）求C 的度数；（2）如图 2，延长 CA 到 E，使 AE=CD，延长 CD 到 B，使 DB=CE，AB、ED交于点 O求证：BOD=45；（3）如图 3，点 F、G 分别是 AC、BC 上的动点，且 SCFG=S 四边形 AFGB，作FMBC，GNAC，分别交 AB 于点 M、N，线段 AM、MN、NB

22、能否始终组成直角三角形？给出你的结论，并说明理由26 （2011邯郸一模） （1）如图 1，四边形 ACDG 与四边形 ECBH 都是正方形，且 B，C，D 在一条直线上，连接 DE 并延长交线段 AB 于点 F求证：AB=DE，AB DE；（2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图 2，且 = = ，则AB 与 DE 的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由（3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，BCE= ACD=90，且 =k，且请直接写出 AB 与 DE 的数量关系与位置关系27 （2011哈尔滨）已知：在 ABC 中，BC=2AC，DBC=A

23、CB，BD=BC，CD交线段 AB 于点 E（1）如图 1，当ACB=90 时，则线段 DE、CE 之间的数量关系为 ；（2）如图 2，当ACB=120 时，求证：DE=3CE；（3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 是 BC 边的中点，连接 DF，DF 与 AB 交于G，DKG 和DBG 关于直线 DG 对称（点 B 的对称点是点 K，延长 DK 交 AB于点 H若 BH=10，求 CE 的长28 （2011武汉模拟）在 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 BC、AB、AC 的中点，点 G 为线段 DF 上一点（点 G 不与 D、F 重合） ，AG 的延长线交 BC 于点 K，交ED 的

24、延长线于点 H，连接 BH（1）如图 1：若BAC=90 ，写出图中所有与 HBD 相等的角，并选取一个给出证明（2）如图 2：若BAC 90，在（1）中与 HBD 相等的角中找出一个仍然与HBD 相等的角，并给出证明29 （2011黑龙江模拟）已知：如图，直角梯形 ABCD 中 ADBC， A=90，CD=CB=2AD点 Q 是 AB 边中点，点 P 在 CD 边上运动，以点 P 为直角顶点作直角MPN，MPN 的两边分别与 AB 边、CB 边交于点 M、N （1）若点 P 与点 D 重合，点 M 在线段 AQ 上，如图（1） 求证：（2）若点 P 是 CD 中点，点 M 在线段 BQ 上，如图（2） 线段 MQ、CN、BC 的数量关系是： ，并证明你的猜想30 （2011南岗区校级三模）已知：梯形 ABCD 中，AD BC， ABC=90，BECD 于点 EDP CB 于点 P，连接 AP、AE （1）如图 1，若C=45，求证：AP= AE（2）如图 2，若C=60，直接写出线段 AP、AE 的数量关系 （3）在（1）的条件下，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转得到线段 EA，使DEA=DEA，直线 EA分别与线段 BA 延长线、线段 BC 交于点 N、点 K，已知 AD=1，EK= 求线段 NE 的长