解三角形专题.doc

1、- 1 -解三角形专题一、基础知识：1、正弦定理： ，其中 为 外接圆的半径2sinisinabcRABCABC:正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） 22222siisisiabc（2） （恒等式）concocsinbaBA（3） 2insBCaA2、余弦定理： sb变式：（1） 22cosca 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出 是钝角还是锐角A当 时， ，即 为锐角；22bas0A当 （勾股定理）时， ，即 为直角； ccos当 时， ，即 为钝角22cs 观察

2、到分式为齐二次分式，所以已知 的值或者 均可求出,abc:abcosA（2） 此公式在已知 和 时不需要计算出 的值，进21cosabcA,bc行整体代入即可3、三角形面积公式：（1） （ 为三角形的底， 为对应的高）2Shah（2） 1sinsisin2bCcAacB（3） （ 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）r（4）海伦公式： 1,2Spbpcabc（5）向量方法： （其中 为边 所构成的向量，方向任意）221a,证明： 2222sinsincos244SbCSbCabC- 2 -，而 221cosSabCcosabC2坐标表示： ，则12,axyb121Sxy4、三角形内

3、角和 （两角可表示另一角） 。ABCsin()sisincocco5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形： 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 两角及一边（AAS 或 ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例： :sin:siabcABC 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知 ，所确定的三角形有可能唯一，也

4、有可,能是两个。其原因在于当使用正弦定理求 时， ，而BinsisiibAa时，一个 可能对应两个角（1 个锐角，1 个钝角） ，所以三角形可0,2Bsin能不唯一。 （判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例 1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设 为 的一条中线，ADBC:则 （知三求一）22ABC证明：在 中D:22cosAACD为 中点 BC DAB C- 3 -ADBCcos

5、csADBC 可得：22（2）角平分线定理：如图，设 为 中:的角平分线，则 BACACD证明：过 作 交 于 DEBE为 的角平分线A为等腰三角形 :A而由 可得：BDECBEDC:BEADA二、典型例题：例 1：（1） 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则B:,A,abc2,6,0bB_C（2） 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则,C,3C_B思路：（1）由已知 求 可联想到使用正弦定理： ,Bbc sinisinibccBBb代入可解得： 。由 可得： ，所以1sin26030答案： 30C（2）由已知 求 可联想到使用正弦定理： ,bcB sinisinibcbCBBc代入可解得： ，则

6、 或 ，由 可得： ，所以 和sin2601260均满足条件120B答案： 或610B小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出AB CDE- 4 -角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例 2：在 中， ，若 的面积等于 ，则 边长为_ABC:2,60BAC:32AC思路：通过条件可想到利用面积 与 求出另一条边 ，再利用余弦定理求出 S,B即可解： 113sin22ABCSBA:22 1cos4C3A答案：例 3：（2012 课

7、标全国）已知 分别为 三个内角 的对边，且有,abcABC:,cosin0aC（1）求 A（2）若 ，且 的面积为 ，求 B:3,bc（1）思路：从等式 入手，观察每一项关于 齐次，考虑cosin0aC,abc利用正弦定理边化角：，所涉及式cos3in0sico3sinsin0aCbACB子与 关联较大，从而考虑换掉 ，展开化简后即可求出 ,AniBA解： csiacino3snsin0CACsci siissicocsin0AC即 13sinco12in1si662AA- 5 -A CBD或 （舍）6A563（2）思路：由（1）可得 ，再由 ， 可想到利用面积与关于 的余弦3A3ABCS:2

8、aA定理可列出 的两个方程，解出 即可,bc,bc解： sin42ABCS:2 2coac可解得 248bbc2b小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角 同时出现在方程中时，通常,AC要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角例 4：如图，在 中， 是边 上的点，且 ，ABC:DA,23,2B则 的值为_sin思路：求 的值考虑把 放入到三角形中，可选的三角形有和 ，在 中，已知条件有两边 ，但是:,DC缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在 中，三边比例已知，B

9、:进而可求出 ，再利用补角关系求出 ，从而 中已知两边一角，可解出 BDAB解：由 可设 则 232k3Ak,4kC在 中， ADB: 22222 3cos kkDBA 3cosC6sin3C在 中，由正弦定理可得： B: sin6sisiiBBDC- 6 -小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。 （2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的 ），k这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算例 5：已知 中， 分别是角 所对边的边长 ， 若 的面积为 ，且ABC

10、:,abc,ABCABC:S，则 等于_2Sabtn思路：由已知 可联想到余弦定理关于 的内容，而 ，2ccos1sin2ab所以可以得到一个关于 的式子，进而求出 si,oCtanC解： 2 221sinSabcabbc而 代入可得：2c2ossinosiCCC224nic53ss1s4tan3C答案： 例 6：在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ，AB,BC,abcABC315则 的值为 .12,cos4ba思路：已知 求 可以联想到余弦定理，但要解出 的值，所以寻找解出 的条件，,c,bc，而 代入可得 ，再由1sin3152ABCSbc: 215sin1os4A24可得 ，

11、所以 22ccos6abcbA8a答案： 8例 7：设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ，且AB:,C,ain3s0B，则 的值为（ ）2bacb- 7 -A. B. C. D. 2224思路：由 可得： ，从而 ，sin3cos0bAaBsin3sinco0ABtan3解得 ，从 可联想到余弦定理： ，所以B2 222bac有 ，从而 再由 可得 ，所以 的22accccbb值为 答案：C小炼有话说：本题的难点在于公式的选择， 以及所求 也会让我们想到正弦定理。2bacb但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦

12、的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。例 8：设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ，则 （ ABC:, ,abc2,6abcAC）A. B. C. D. 或643443思路：由 的结构可以联想到余弦定理： ，可以此为突2abc22cosabA破口，即 ，代入解得： ，进而求出2osbA31c，得到 比例代入余弦定理可计算出31ab,acC解：由 可得： ，22bccosabA22c代入到3131cb2abc可得： 22ab43132ab31:c22223131cosabcC- 8 -4C例 9：已知 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角

13、是最小内角的 2 倍，则最小内AB:角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 3567103思路：不妨考虑 ，将三个边设为 ，则 ，想到正弦abc,axbcx2CA定理 ，再将 利用余弦定理用边表示，列方程解出 ，从sini2oscCAcsAx而求出 o解：设 ，则ab1,1axbx2CAsini2coscA代入 可得：2cabcb 1,1axbcx，解得： 2221xx54,56abc223os4aA答案：A小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角 2 倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二

14、倍角公式，则有 ，即便使用余弦定理也会导致cos1CA方程次数过高，不利于求解。例 10：在 中， 为边 上一点， ，若ABC:D,20,2BDBD的面积为 ，则 _3A思路：要求出 ，可在 中求解，通过观察条件C:，可120(120),3ADABS从 可解，解出 ，进而求出 ，再在DC:B中解出 ，从而 三边齐备，利用余弦定理:可求出解： 1sin32ADCSAC: AB CD- 9 -2331sinDC12B22 2cos3131cosAADC6431C同理 22cosABDABD233166222263131cos 6ABC60答案： BA小炼有话说：（1）本题与例 4 想法类似，都是把

15、所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作 于 ，进而利用在 中AMBCRtADM:得 ，再用 解出 60,2DC 3,1D3ADS: 231C进而 ，则在 上31BBC,23M所以 可得：45tanMAA，所以1C60BC三、近年好题精选1、设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ，则:, ,abc1,24ABCS:（ ）sinAAB CDM- 10 -A. B. C. D. 21025082102、设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ，则 的值为ABC:, ,abc3,2cABa（ ）A. B. C. D.

16、2 33、在 中， 为 边上一点， ，若AB:D2,2,45DCBADC，则 （ ）2CA. B. C. D. 4534、 （2015，北京）在 中， ，则 _ABC:,56abcsin2AC5、 （2015，广东）设 的内角 的对边分别为 ，若,abc，则 _13,sin,26a6、 （ 2015，福建）若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于_ABC:1035,8ABCB答案：77、 （2015，天津）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 的面积为, ,abcA:， ，则 的值为_31512,cos4bAa8、 （2014，天津）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，BC:, ,c14ca，则 的值为_2siniBcs9、 （2014，山东）在 中，已知 ，当 时， 的面积为AtanA6ABC:_10、 （2014，辽宁）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，已知BC:, ,bca，求：12,cos,3BACb（1） 的值a（2） 的值s11、 （2015，陕西）设 的内角 的对边分别为 ，向量 与ABC:, ,abc,3mab