1、锐角三角函数知识讲解责编：康红梅 【学习目标】1结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2会推算 30、45、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在 RtABC 中，C90，A 所对的边 BC 记为 a，叫做A 的对边，也叫做B 的邻边，B 所对的边 AC 记为 b，叫做B 的对边，也是A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，叫做斜边锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 ；sinAac的 对 边斜 边锐角 A 的邻边与斜边
2、的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即 ；cob的 邻 边斜 边锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即 .tanAa的 对 边的 邻 边同理 ； ； sinBbc的 对 边斜 边 osBc的 邻 边斜 边 tBb的 对 边的 邻 边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，不能理解成 sin 与A，cos 与A，tan 与A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的记号“
3、”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外， 、 、 常写成 、 、 (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)由锐角三角函数的定义知：ABCabc当 角 度 在 0 A90间 变 化 时 ， ， ，tanA0要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出 30、45、60角的各三角函数值，归纳如下：锐角3045 160要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道 30、45、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 ，则锐
4、角 (2)仔细研究表中数值的规律会发现：、 、 的值依次为 、 、 ，而 、 、 的值的顺序正好相反， 、 、 的值依次增大，其变化规律可以总结为：正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在 RtABC 中，C=90(1)互余关系： ， ；(2)平方关系： ；(3)倒数关系： 或 ；(4)商数关系： 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1 （2016 安顺）如图
5、，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B ，C 都在格点上，则ABC的正切值是（ ）A2 B C D【思路点拨】根据勾股定理，可得 AC、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC= ，AB=2 ，BC= ，ABC 为直角三角形，tanB= = ，故选：D【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出 AC、AB 的长，再求正切函数举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数 高清 ID 号： 395948关联的位置名称（播放点名称）：例 1（1）-（2） 】【变式】在 RtABC中， =90，若 a3， b=4，则 c ，sin ， cosA
6、， sinB ， osB= ABCabc【答案】 c= 5 ， sinA ， cos=， inB， cos=354535类型二、特殊角的三角函数值的计算2求下列各式的值：(1)（2015茂名校级一模） 6tan230 sin602sin45；(2)（2015乐陵市模拟） sin604cos230+sin45tan60； (3)（2015宝山区一模） +tan60 【答案与解析】解：（1）原式= 2(2) 原式= 4（ ） 2+ = 3+= ；63(3) 原式= + =2 + =3 2 +2= 3【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化
7、简举一反三：【高清课程名称： 锐角三角函数 高清 ID 号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例 1（3）-（4） 】【变式】在 RtABC中， =90，若A=45，则 B= ，sinA= ， cosA= ， sinB= ， cosB= 【答案】 B=45， sinA， cos=， inB， cos=2222类型三、锐角三角函数之间的关系3 （2015 河北模拟）已知 ABC 中的A 与B 满足（1 tanA） 2+|sinB |=0（1）试判断ABC 的形状（2）求（1+sinA ） 22 （3+tanC ） 0 的值【答案与解析】解：（1）|1 tanA） 2+|sinB |=0，
8、tanA=1，sinB= ，A=45，B=60， C=1804560=75，ABC 是锐角三角形；（2）A=45，B=60，C=1804560=75，原式 =（1+ ） 22 1= 【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4如图所示，AB 是O 的直径，且 AB10，CD 是O 的弦，AD 与 BC 相交于点 P，若弦 CD6，试求 cosAPC 的值【答案与解析】连结 AC， AB 是O 的直径， ACP90，又 BD，PABPCD， PCDPAB， PCDAB又 CD6，AB10， 在 RtPAC 中， 63
9、cos105P【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结 AC，由 AB 是O 的直径得ACB90，PC、PA 均为未知，而已知 CD6，AB 10，可考虑利用PCDPAB 得cosPCADB5通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图 1，在ABC 中，ABAC，
10、顶角 A的正对记作 sadA，这时 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一sadABC底 边腰确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60_(2)对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是_(3)如图 1，已知 sinA ，其中A 为锐角，试求 sadA 的值35【答案与解析】(1)1； (2)0sadA2；(3)如图 2 所示，延长 AC 到 D，使 ADAB，连接 BD设 ADAB5a，由 得 BC3a，3sin5BCA ，2(5)4ACaa CD5a-4aa， ，2(3)10Da 10sd5BA【总结升华】(1)将 60角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故 sadA1；(2)在图中设想 ABAC的长固定，并固定 AB 让 AC 绕点 A 旋转，当A 接近 0时，BC 接近 0，则 sadA 接近 0 但永远不会等于 0，故 sadA0，当A 接近 180时，BC 接近 2AB，则 sadA 接近 2 但小于 2，故sadA2；(3)将A 放到等腰三角形中，如图 2 所示，根据定义可求解
