1、1相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例 1. 如图， 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与ABCBC 延长线相交于 F，求证： BEB D A C F E B G D A C F E证明：过点 C 作 CG/FD 交 AB 于 G小结：本题关键在于 ADAE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例 2. 如图，ABC 中
2、，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：AB DF=ACEF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲 证 ， 需 证 ， 而 这 四 条 线 段 所 在 的 两 个 三 角 形 显 然ABDFCEABEFD不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过 E 作 EM/AB，交 BC 于点 M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似） 。EMABCABEC即 ， AM2同 理 可 得 EMFDBEFM，又 ，BC（ 为 中 间 比 ） ，A， AC方法二：
3、如图，过 D 作 DN/EC 交 BC 于 N则 有 ， ，BDNACABDN， 即 （ 比 例 的 基 本 性 质 ）同 理 ，ECFNDBEC， 而 （ 已 知 ）（ 为 中 间 比 ） ，ACFDAF，二、作垂线3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求证： 。2EB BNM证明：过 B 作 BMAC 于 M，过 D 作 DNAC 于 N ACE （1）ACEACEB又 （2）DNFNFD（1）+（2） )(AMA3又 AN=CM BCMADN 2)(ACAFE三、作延长线例 5. 如图， Rt ABC 中，CD 为斜边
4、AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF2解析：欲证式即 由“三点定形” ，BFG 与 CFG 会相似吗？显然不可FGCB能。 （因为 BFG 为 Rt） ，但由 E 为 CD 的中点，可设法构造一个与 BFG 相似的三角形来求解。 不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H则 ECFDGA H又 ED=EC FG=FH 又易证 RtCFHRtGFB FGFH=CFBF BFGFG=FH FG 2=CFBF四、作中线例 6 如图， 中，ABAC，AE BC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求ACAC。解
5、：取 BC 的中点 M，连 AM AB AC AM=CM 1=C又 BD=DC DCBDB14 又 DC=1 MC= BCMACDBBCA21 （1）2又 又 EC=1 ERtt（2）BA2由（1） （2）得， 41AC32小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC 中点 M，构造 与AC相似是解题关键DC练习题1、在ABC 中，D 为 AC 上的一点，E 为 CB 延长线上的一点，BE=AD，DE 交 AB 于F。求证：EFBC=ACDF2、 中， ，AC=BC，P 是 AB 上一点，QABC90是 PC 上一点（不是中点） ，MN 过 Q 且 MNCP ，交AC、BC 于
6、 M、N，求证： 。CNMBA:例 1： 已知：如图，ABC 中，ABAC，BD AC 于 D求证： BC22CDAC证法一（构造 2CD）：如图，在 AC 截取 DEDC，BDAC 于 D，BD 是线段 CE 的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC ，C=ABC BCE ACB ， BCAEBCAD2BC 22CD AC证法二（构造 2AC）：如图，在 CA 的延长线上截取 AEAC，连结 BE， ABAC ， ABAC=AEEBC=90 ，又BDAC EBC=BDC=EDB=90，B CADEAB CDEAB CDE5E=DBC，EBC BDC 即BCEDA2BC 22CD A
7、C证法三（构造 ） ：如图，取 BC 的中点 E，连结 AE，1则 EC= 2又AB=AC，AEBC，ACE= CAEC=BDC=90ACEBCD 即 BADE21BC 22CD AC证法四（构造 ）：如图，取 BC 中点 E，连结 DE，则 CE= CBC21BDAC ，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDC J 即 EADBB21BC 22CD AC例 2已知梯形 中， ， ， 是ACD/ADC3E腰 上的一点，连结AB（1）如果 ， ， ，求 的BEBEB度数；（2）设 和四边形 的面积分别为 和 ，且A1S2，试求 的值13SE（1）设 ，则kkB3解法 1
8、 如图，延长 、 交于点CDF， ， AD/AAB3， 为 的中点kF2又 ，又 为等边三角形 故CEC60BAB CDEAB CDE6解法 2 如图作 分别交 、 于点 、ABDF/CEBGF则 ，得平行四边形EAD同解法 1 可证得 为等边三角形故 60解法 3 如图作 交 于 ，交 的延长线于CAF/GBCF作 ，分别交 、 于点 、BIEHI则 ，得矩形EA，/3又 ，故 为 、 的中点D3FDA以下同解法 1 可得 是等边三角形CGI故 60B解法 4 如图，作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，得AF/ E/BG平行四边形 ，且DAB读者可自行证得 是等边三角形，故60解法 5 如图延长
9、 、 交于点 ，作 ，分别交 、CEFCDG/于点 、 ，得平行四边形GH可证得 为 的中点，则 ，故ADkA2601得 为等边三角形，故BB解法 6 如图（补形法） ，读者可自行证明 是等边三角形，CF得 0（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设 ，则SBCE3SAECD2四 边 形解法 1（补形法）如图补成平行四边形 ，连结 ，则FAF设 ，则 ，xSACDxSACE2xCD2由 得， ，FBs3s457sxSACE43243sSAEBC解法 2 （补形法）如图，延长 、 交于点 ，DF91ABCDSsSFADABCF581梯 形， ，又SFD sFE821 s
10、SEBC387BEC设 ，则 ， ，mm15BAF，2A4A解法 3（补形法）如图连结 ，作 交 延长线于点CDF/连结则 ，故 （1）BF3，ACFDSECADS四 边 形2AEBFEB四 边 形故 （2）F3)(32由（1） 、 （2）两式得 即44解法 4（割补法）如图连结 与 的中点 并延长交 延长线于点 ，如图，ACDFBCG过 、 分别作高 、 ，则 且E1h2AD，AECGACDS四 边 形四 边 形 sSBCB5梯 形，又2153hABG438， ，故5421hABE4说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形. 例 3如图
11、 4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADF31，连 E、F 交 AC于 G求 AG：AC 的值解法 1： 延长 FE 交 CB 的延长线于 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCA/， H= AFE，DAB=HBE又 AE=EB， AEFBEH ，即 AF=BH， ADF31， BCF31，即HF41 ADCH ，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1 ：4， AG：AC=1 ：5解法 2： 如图 42，延长 EF 与 CD 的延长线交于 M，由平行四边形 ABCD 可知，DCAB/，即 ABMC， AF：FD=A
12、E：MD，AG：GC=AE：MC F31， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 DCABE1 AE：MC=1 ：4，即AG：GC=1：4 ， AG：AC=1 ：5例 4、如图 45，B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=_.解析：取 CF 的中点 G，连接 BG B 为 AC 的中点， BG：AF=1：2，且 BG AF，又 E 为 BD 的中点， F 为 DG 的中点 EF：BG=1：2故 EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例 5、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于O 点，E 为 AB 延长线上一点， OE 交 BC 于
13、F，若 AB=a，BC=b，BE=c，求 BF 的长9解法 1： 过 O 点作 OMCB 交 AB 于 M， O 是 AC 中点，OMCB， M 是 AB 的中点，即aB21， OM 是ABC 的中位线，bCO，且 OMBC， EFB= EOM，EBF= EMO BEFMOE ， EMBF，即cabBF21， cab2.解法 2： 如图 4-8，延长 EO 与 AD 交于点 G，则可得 AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG， AEBF即caBFb， 2 cabBF2.解法 3： 延长 EO 与 CD 的延长线相交于 N，则BEF 与CNF 的对应边成比例，即CNEF解得 cabB2
14、.例 6、已知在ABC 中，AD 是BAC 的平分线求证： CDBA分析 1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中 AD 为ABC 内角 A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法 1： 如图 49，过 C 点作 CEAD，交 BA 的延长线于 E在BCE 中， DACE， AEBD10又 CEAD， 1=3，2=4，且 AD 平分 BAC， 1=2，于是3= 4
15、， AC=AE代入式得 ACBD分析 2 由于 BD、CD 是点 D 分 BC 而得，故可过分点 D 作平行线证法 2： 如图 410，过 D 作 DEAC 交 AB 于 E，则 2= 3 1=2， 1= 3于是 EA=ED又 CBEA， EAB， CD.分析 3 欲证式子左边为 AB：AC，而 AB、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将 AB 转移到与 AC 平行的位置证法 3： 如图 411，过 B 作 BEAC，交 AD 的延长线于E，则2= E 1=2， 1= E，AB=BE又 ACDB， D.分析 4 由于 AD 是BAC 的平分线，故可过 D 分别作 AB、AC的平行线，构造相似三角形求证证法 4 如图 412，过 D 点作 DEAC 交 AB 于 E，DFAB交 AC 于 F易证四边形 AEDF 是菱形则 DE=DF由BDEDFC，得 EBFC又 ABDE， D.一、如何证明三角形相似例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。例 2、已知ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 是角平分线，求证：ABC BCDB G
