1、三角函数线及其应用【知识梳理】1有向线段带有方向的线段叫做有向线段2三角函数线图示正弦线 的终边与单位圆交于 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴，有向线段 MP 即为正弦线余弦线 有向线段 OM 即为余弦线正切线过 A(1,0)作 x 轴的垂线，交 的终边或其终边的反向延长线于 T，有向线段 AT即为正切线【常考题型】题型一、三角函数线的作法【例 1】 作出 的正弦线、余弦线和正切线34解 角 的终边(如图) 与单位圆的交点为 P.34作 PM 垂直于 x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与 的终边的反向延长线交于点 T，则 的正弦线为 MP，余弦线34 34为 OM，
2、正切线为 AT.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线 AT.【对点训练】作出 的正弦线、余弦线和正切线94解：如图所示， 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.94题型二、利用三角函数线比较大小【例 2】 分别比较 sin 与 sin ；cos 与 cos ；tan 与 tan 的大小23 45 23 45 23 45解 在直角坐标系中作单位圆如图所示以 x 轴非负半轴
3、为始边作 的终边与单位圆交于 P 点，作 PMOx，垂足为 M.由单位圆与 Ox23正方向的交点 A 作 Ox 的垂线与 OP 的反向延长线交于 T 点，则sin MP，cos OM，tan AT.23 23 23同理，可作出 的正弦线、余弦线和正切线，45sin M P ，cos OM ，tan AT.由图形可知，MPMP，符号相同，则45 45 45sin sin ；OM OM，符号相同，则 cos cos ；ATMPOM；当 M POM.题型三、利用三角函数线解不等式【例 3】 利用三角函数线，求满足下列条件的 的范围(1)sin .12 32解 (1) 如图 ，过点 作 x 轴的平行线
4、交单位圆于 P，P两点，则(0， 12)sinxOPsin xOP ，xOP ，xOP ，12 116 76故 的范围是Error! .(2)如图，过点 作 x 轴的垂线与单位圆交于 P，P两点，则(32，0)cosxOPcos xOP ，xOP ，xOP ，32 6 6故 的范围是Error! .【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于 sin xb，cos x a(或 sin xb，cos xa) ，只需作直线 yb，xa 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相
5、应的 x 的范围；对于tan xc (或 tan xc)，则取点 (1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得【对点训练】利用三角函数线求满足 tan 的角 的范围33解：如图，过点 A(1,0)作单位圆 O 的切线，在切线上沿 y 轴正方向取一点 T，使 AT ，过点 O，T 作直线，则当角 的终边落在阴影区33域内( 包含所作直线，不包含 y 轴) 时，tan .由三角函数线可知，在0，360) 内，tan 33，有 30 0MPCOM0OM解析：选 D 如右图所示，正弦线为 MP，余弦线为 OM，结合图像，可知：MP0，OMOM，即 sin 1cos 1.答案：sin 1cos 15在单位圆中画出满足 sin 的角 的终边12解：所给函数是正弦函数，故作直线 y 交单位圆于点 P，Q，连接 OP，OQ，则射线12OP，OQ 即为角 的终边
