1、神奇的摩擦角浙江省绍兴市第一中学 312000 何海明1、来自生活的摩擦自锁现象仔细观察身边的事物，我们会发现摩擦自锁现象无处不在。第一类摩擦自锁现象和摩擦角有关，如沙场上的沙堆，无论沙量多少，沙堆高低，它们的形状总是呈相似的圆锥形。家具榫头松动了，木匠师傅会在榫头上凿一条缝，然后打入木楔紧固榫头联接。第二类摩擦自锁现象和摩擦的积累有关，如把二本物理课本的书页交错叠插在一起，然后抓着书脊试图拉开二本书本，会感到非常困难。更为神奇的是把一根筷子插入装有大米的敞口瓶子，缓缓提筷子，瓶子会被一同提起，而米粒并不散落出来，这个现象出乎了我们的想象。生活中，人们使用的编织物、纺织品以及缝纫制品都依赖于摩
2、擦自锁现象，他们才不致松散开来。2、摩擦角与自锁现象先从斜面情景看摩擦角。如图（1）所示，找一块橡皮，放在矩形文具盒盖上，缓缓抬起盒子的一端，使得橡皮块刚好匀速下滑。 根据平衡条件有 得：cossinmg，我们把此时文具盒与水平桌面的夹角 叫做摩擦tan角。如果斜面倾角小于摩擦角物体在斜面上静止，物体静止时那怕再叠加重物还是施加竖直压力，物体仍然静止不会滑动。将斜面沿圆柱体卷绕后就成为螺旋，螺旋千斤顶的工作原理就是利用了斜面的自锁现象。摩擦角落还有另一种意义。我们都有这样的经验，用拖把擦地板，并不是任何角度施力都能推动拖把，如果把杆太陡，拖把也会锁定不动。对拖把受斩分析，受重力、推力、支持力和
3、摩擦力的作用。来自地面的支持力和滑动摩擦力的合力也叫约束反力，设约束反力与竖直方向间的夹角为 。 当拖把滑动时，滑动摩擦力 ，得到NfF。结果表明拖把滑动时地面对拖把的约束反力与NfFtan竖直方向间的夹角 是恒定不变的， 即为摩擦角。如果推力与竖直方向夹角小于摩擦角，无论施力多大，拖把都不会移动，处于锁定状态。从上面二种情景我们得知摩擦角 是指约束反力与约束平面法线间的夹角，用摩擦因数表示， 。摩擦角是自锁现象arctn的临界条件。3、摩擦积累与自锁现象筷子提米瓶子依靠大量米粒与筷子间的静摩擦积累，才克服瓶子重力而被提起。神奇的“四两抵千斤”也与摩擦积累有关。 图 (1)图 (2)图 (3)
4、为防止牲口走失，聪明的主人拴牲口时只需把牵绳在桩上缠绕数圈即可，就不必担心牲口走失了。船舶泊岸，船只将缆绳往岸上的定船柱上绕上数圈，船也不会漂走了，见图（3）。这便是所谓的“四两抵千斤”。那么，四两是如何抵得千斤的？ ，将缆绳往船柱上绕上数圈，船就不会漂移了。如图（4）所示，取绕在圆柱上绳子的微元，微元长为 ，对应圆心角 ，微元2s2二端张力分别为 F 和 F+ ，对这一小段绳子进行受力分析并列出平衡方程径向平衡条件 (1) ()NsinFsin切向平衡条件 （2） cof在临界滑动条件下有(3)NfF当 足够小时，略去二阶小量，从(1)、 （2）、（3）得到（4）2把（4）改为微分式 （5）
5、dF分离变量积分得： （6）20e计算结果表明，绳上的张力和绳子盘绕角度呈指数规律递减，这就是“四两抵千斤”的原理。找一把琴，观察弦线的锁定装置，可以加深对结果（6）式的理解。4、巧用摩擦角解题例 1、放在水平地面上的木箱，与地面的摩擦因素为 。问要移动木箱怎样施力最省力？ 分析与解：箱子移动时，箱子受到重力、外加主动力、支持力、滑动摩擦力四个力的作用。地面对箱子的支持力和滑动摩擦力合力方向是不变的，用约束反力代替地面对箱子的支持力和摩擦力，移动箱子可以简化为三力平衡问题，只要箱子的重力、地面的约束反力、作用在箱子上的主动力，三个力矢量构成一个封闭三角形即可。由矢量图（5）可以看出，外力施力方
6、向和约束反力垂直斜向上时，移动箱子最省力。如果箱子重量为 G，容易求出最小拉力为： （7）21sinF例 2、如图所示，斜面体 A 静止在粗糙的水平地面上，物体 B 恰能在斜面上匀速下滑，此时地面对斜面的摩擦力为零。若在 B 下滑的过程中对 B 施加一个任意方向的力，地面对斜面的摩擦力为 （ ） A、如果 B 加速下滑，地面对斜面摩擦力方向水平向左B、如果 B 减速下滑，地面对斜面摩擦力方向水平向右C、只要 B 在斜面上滑动，地面对 A 的摩擦力为零，与施力方式无关D、因为施力方向未知，所以摩擦力的方向也不确定。F+F2 NR图 （ 4)FNFfG图 （ 5)图 （ 6)A分析与解：因为 B
7、在斜面上匀速滑下，斜面对 B 的约束反力竖直向上，恰好与重力平衡。约束反力的方向由摩擦角决定，与运动状态无关。所以，B 对 A 的反作用方向也始终竖直向下，斜面 A 无滑动趋势，地面对斜面的摩擦力为零。故选项 C 正确。例 3、破冰船一方面要把海洋上的冰层压碎，同时又要把碎冰块推到水下去，开出航道。所以破冰船沿龙骨方向的纵向横截面做成上大下小的倒梯形状。梯形的倾角多大才符合排开碎冰的要求?分析与解：如图（7）所示， 设船体侧面钢板与竖直方向夹角为 ，冰块受钢板侧向挤压力 FN，冰块沿钢板下滑，摩擦力 Ff沿钢板向上，临界情况时，船侧钢板对冰块的约束反力恰好沿水平方向， 角恰好等于摩擦角，即 。
8、要把碎冰压入水中，tan船体侧面倾角满足 即可。rc例 4、图（8）所示的轧钢机的轧辊转动时 ,不需外力的帮助即能将轧件带入轧辊之间。若轧辊直径 d， 加工后板材厚度a，轧辊与被扎材料间的摩擦因数 0.3，求被扎工件的最大厚度 h 应满足怎样的条件（忽略轧件自重） 。分析与解：考察轧辊与钢板的咬合点Q，轧辊对钢板的约束力方向与法向弹力夹角等于摩擦角 ， （8） tan又由轧辊与工件的几何关系得到， （9）2)(tan22ahd在临界条件下， ，要使轧辊带动工件，必须满足 （10）ttan tant根据（8）、（9）、（10）可得到加工工件厚度 h 应满足条件： hd)1(2例 5、图（10）所
9、示，滑雪运动员准备沿山坡自由滑下，发现预设滑行路径的正前远方恰好有一棵树，运动员根据与雪地的摩擦角在出发点做了简单的目测，知道不会碰到大树。问运动员是如何测知的？分析与解：设运动员所用的雪撬与雪的摩擦因数为 ，斜坡长 s1，运动员在水平地面上滑行的距离为 s2，运动员在山坡起始位置高度为 h。因为运动员在山坡上加速的末速度等于平地上减速的初速度，根据公式 有：2vas（11）21)coin(gsg图 （ 7)FfNQhad图 （ 8)图 （ 9)FNFfQ图 （ 10)简化（11）式得 （12）2s1h=co令 ，s 为运动员位移的水平投影。（12）式变为 ，引入摩擦角 ，2s1co hs得到 。这是摩擦角的动力学意义，知道了摩擦因数 ，滑行的终点是确定htan的。运动员可以在下滑前进行目测估计，视线与水平方向夹 角向下，目光所及即为滑行的终点。如果树在终点的外侧，运动员下滑就不会碰着树，是安全的。浙江省绍兴市第一中学 312000 何海明
