1、用心 爱心 专心第 6 讲 数列的综合问题 知 识 梳理 1.等差数列的补充性质若 nSda,0有最大值，可由不等式组 01na来确定 ；若 n,1有最小值，可由不等式组 1n来确定 .2.若干个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法： dx,；四个数成等差的设法： dxdx3,3.三个数成等比的设法： q；四个数成等比的设法： 2,q.3.用函数的观点理解等差、等比数列等差数列 na中， dand11)(，当 0d时， 是递增数列， na是 的一次函数；当 时， n是常数列， 是 的常数函数；当 时， a是递减数列， n是 的一次函数.等比数列 n中， 1q，当 1,01q或 0,时，
2、na是递增数列；当 a或 11a时， 是递减数列；当 时， n是一个常数列；当 q时， n是一个摆动数列.4.解答数列综合问题的注意事项 认真审题、展开联想、沟通联系； 将实际应用问题转化为数学问题； 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题. 热 点 考 点 题 型 探 析考点 数列的综合应用题型 1 等差、等比数列的综合应用用心 爱心 专心【例 1】已知等差数列 与等比数列 nb中， 6321,aba，求
3、n的通项.na【解题思路】由等比数列 知： 321,成等比，从而找出 d1的关系.【解析】设等差数列 的公差为 d，等比数列 n的公比为 q，nnb是等比数列， 321,b成等比，则 )5)()(11623 aaa，解得 0d或 21a.当 0d时， q， 1， n；当 2时， 1b， 32123da， 1nb. 【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.【例 2】已知 nS为数列 的前 n项和， 1， 24naS.设数列 b中， a21，求证： nb是等比数列；设数列 nc中， n，求证： c是等差数列；求数列 的通项公式及前 项和.a【解题思路】
4、由于 nb和 c中的项与 中的项有关，且 241nnaS，可利用 na、 S的关na系作为切入点.【解析】 241nnaS， 2412nnS，两式相减，得n aS12 ， )2(11nnnaa又 nb， nb1，由 1， ，得 523121a， 是等比数列， 123nn.由知， nna412，且 c.42211111 nnnnn bcn是等差数列， 43. nac2，且 c， .2)13(432nnnaa用心 爱心 专心当 1n时， 121)3(a，na， .2)43(1nS【名师指引】等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；将“ 24naS”化归为)(1nnf是解题的关键.题型 2 数
5、列与函数、方程、不等式的综合应用 【例 3】 （2008 韶关模拟）设函数 )(xf的定义域为 R，当 0x时， 1)(xf，且对任意的实数Ryx,，有 )(yyxf求 )0，判断并证明函数 )(xf的单调性；数列 满足 01fa,且 )()2(1*1Nnafafnn求 通项公式；n当 1a时，不等式 )1log(l351.1122 xaa aann 对不小于 2的正整数恒成立，求 x的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.【解析】 1)0(f， )(xf在 R上减函数（解法略） )2()(1,11 nnn affaffa 由 )(
6、xf单调性2211nna，故 等差数列 nn 2321221 1.,. nnnnn aabaab则 3412121 bnnn,0)(34)( nb是递增数列当 2n时， 351271432min ab用心 爱心 专心)1log(l35121xaa， 即 xxaaaa logl1logl 11 而 ， x，故 的取值范围是 ,【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.题型 3 数列的应用问题【例 4】在一直线上共插有 13 面小旗，相邻两面之距离为 m10，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应
7、集中到哪一面小旗的位置上 ?最短路程是多少?【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.【解析】设将旗集中到第 x面小旗处,则从第一面旗到第 x面旗处,共走路程为 )1(0x,然后回到第二面处再到第 x面处是 )2(0,从第 面处到第 )1(面处路程为 20，从第 面处到第 )2(面取旗再到第 面处,路程为 ，总的路程: 2020)3(0)()1( xS320 2)14(2)(1)( xx )(3)(1xx45)9(01892(02x.由于 N,当 7时, S有最小值 7m.答: 将旗集中以第 7 面小旗
8、处,所走路程最短.【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前 n项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量 n的取值范围.【例 5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?【解题思路】建立上层到底层砖块数 na与 S的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为 n,21 ,则 12nSa,易得 nna21,21,即 n因此,每层砖块数构成首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 04621)
9、(0S(块)答:共用 2046 块.【名师指引】建立 na与 S的关系式后，转化为求数列通项的问题.用心 爱心 专心【例 6】2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40，从 2003 年开始,计划每年将非绿化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2被非绿化. 设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 1a,经过 n年后绿化的面积为 1na,试用 n表示1na；求数列 的第 1项 na；至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据: 471.03lg,1.02lg)【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.【解析】设现有非绿化面积为
10、 1b,经过 n年后非绿化面积为 1nb.于是 ,11nab.依题意, a是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积 na减去被非绿化部分 n02后剩余的面积 098,另一部分是新绿化的面积 n108,于是 )(10811 nnnb 259a 54,25nn aaa .数列 4n是公比为 109,首项 10的等比数列. nna)(51. ,2)109(,5324%,60n7.6lg,lg)19(l nn .答:至少需要 7 年的努力,才能使绿化率超过 60.【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题.【新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为 19，后三个
11、数成等差数列，其和为 12，求原来的四个数.【解析】设后三个数分别为 dx,，则 412)()( xdx前三个数成等比数列， 第一个数为 4)(2， 942，解得 2,14d，当 1时， 5；当 d时， )(2.原来的四个数分别为 8,05或 2,69.2.已知 nS为数列 的前 n项和，点 nSa在直线 nxy3上a用心 爱心 专心若数列 can成等比，求常数的值； 求数列 的通项公式；数列 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；n若不存在，请说明理由 【解析】由题意知 naSn32， )1(3211naS，得 321nna，31na， c； 3211aS，
12、1，由知： 322)3(11 nnnaa32)(nnn； 设存在 )(,rpsNrps，使 rpsa,成等差数列， rsp 即 3)2( ， rs21， s21 （） ，因为 )(,rsrs， srp2,1为偶数， sr为奇数，这与（）式产生矛盾所以这样的三项不存在3.(2009 金山中学)数列 na首项 1，前 n项和 S与 na之间满足2 ()1nS（1）求证：数列 nS是等差数列 （2）求数列 n的通项公式（3）设存在正数 k，使 1221Sk 对于一切 nN都成立，求 k的最大值。【解析】 （1）因为 n时，211 nnnnSaS得 112nnS 由题意 0 (2)nS 12 nS又
13、1a 1n是以 1为首项， 为公差的等差数列. （2）由（1）有 ()2nS 1 2nSN 用心 爱心 专心2n时， 1122()(1)3nnaSnn. 又 1 (2)(1)3n（3）设 12()nSSF则21) 481()3133n n F在 N上递增 故使 ()Fnk恒成立只需 min()F 又 min2()(1)3 又 0 23，所以， k的最大值是 23.4.夏季高山上的温度从脚起，每升高 m，降低 7.，已知山顶处的温度是 8.14，山脚处的温度为26，问此山相对于山脚处的高度是多少米. 【解析】 每升高 10米温度降低 .0，该处温度的变化是一个等差数列问题.山底温度为首项 26a
14、,山顶温度为末项 814na,所以 .)7.0(26n，解之可得 7n，此山的高度为 )()7(.5.由原点 O向三次曲线 0(32bxxy引切线,切于不同于点 O的点),(1yxP，再由 1引此曲线的切线，切于不同于 1P的点 ,2yx，如此继续地作下去,得到点列 n，试回答下列问题： 求 ； (2)求 n与 1的关系式； (3)若 0a，求证:当 为正偶数时, axn；当 为正奇数时 , a.【解析】由 )0(32bxy 得 y=3 x26 ax b.过曲线上点 ),(1P的切线 1l的方程是：3221 1(6)(,).yxabxaxx由它过原点，有11(3,b32113(0,.2aax
15、过曲线上点 ),nnyxP的切线 ln+1的方程是： 3221111(6)(.n nnyxabxx ,由 1nl过曲线上点 ),(nyxP，有3 2(3)(),nnxabx 用心 爱心 专心 01nx，以 1nx除上式，得22 2113()36,nnabxab110,nnnxx以 除之，得 .0321axn (3)方法 1 由(2)得 11().2nnx故数列 x n a是以 x 1 a= 为首项,公比为 的等比数列,a2 12()().nna 0，当 为正偶数时, 11();2nn a当 n为正奇数时, ()().nnx 方法 2 1 133,nnax 23()nxa=()()2nx1 21
16、()(2n .)(13)21( aannn 以下同解法 1. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.首项为 a的数列 既是等差数列，又是等比数列，则这个的前 n项和 S为（ ）nA. 1n B. C. an)1( D. a【解析】D.由题意，得数列 是非零常数列， .Snna2.等差数列 及等比数列 b中， ,0,21b则当 3时有naA. b B. n C. na D. nba【解析】D.特殊法， 及 为非零常数列时， ；取 ,1:n， 4,2:时，n.na3. 已知 cb,成等比数列， m是 ba,的等差中项， n是 cb,的等差中项，则 ncma .用心 爱心 专心【解析】2. 特殊法，取 4
17、,21cba， .2ncma4. nS为等差数列 的前 n项和， 01， 13S，问数列的前几项和最大？公差不为零的等差数列 中， 53， 452,a成等比数列，求数列 的前 n项和 S.a【解析】方法 1：设 )(2ABSn，由 13，得 BA1239，即 AB4， n2)7(2，当 7n时， n有最大值为 .7方法 2：由 13S，得 01654aa ， 是等差数列，n00)(48787a.由 1， 是等差数列， 0,87aa，n当 n时， n有最大值为设 BA， 53a， 1452,a成等比数列，36)14)(2)5(3BA， .3n.3162nSn5.已知 ,0a，数列 nb的前 项和
18、 )()1()(lg2 NnaaSn ，若数列nb的每一项总小于它后面的项，求 a的取值范围.【解析】当 1时， lgb当 2n时， 1nnSb22 )()1()()1(lgn aaa lg， anblg由题意，得 01nb，即 .0lgnn当 时， lg， 1， a；当 0a时， an， n， 1综上， 的取值范围 .,12,0用心 爱心 专心6.等差数列 中， 0na，其公差 0d；数列 nb是等比数列， 0nb，其公比 .1q若 121,ba，试比较 1n与 的大小，说明理由；若 ，试比较 与 的大小，说明理由.【解析】方法 1： na,的图象大致如下图所示： 由图可知， 1nba； 由
19、图可知， 1nba.方法 2：（用作差比较法，略）.综合拔高训练7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为 200，以后每年的增长率为前一年的一半.饲养 5 年后，鱼重量预计是原来的多少倍？如因死亡等原因，每年约损失预计重量的 10，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？【解析】设鱼原来的产量为 a， q200 2 )1()21(),1(2 qqa， a7.12340525 由可知， )(11nnqa，而鱼每年都损失预计产量的 10，即实际产量只有原来的 109.09)2(1na设底年鱼的总量开始减少，则1na，即 18236)1(1092 nqnnnaa328，解得， 5经过 5 年后，鱼的总量开始减少. 8.数列 na的前 项和为 )(NnS，点 ),(nSa在直线 nxy32若数列 c成等比数列，求常数 C的值；2n+1O xy1 n+1图nyxO 1 2图na
