1、 三角形的心三 角 形 只 有 五 种 心 重 心 :三 中 线 的 交 点 ,三 角 形 的 三 条 中 线 交 于 一 点 ， 这 点 到 顶 点 的 距 离 是 它 到 对 边 中点 距 离 的 2 倍 ； 垂 心 :三 高 的 交 点 ; 内 心 :三 内 角 平 分 线 的 交 点 ,是 三 角 形 的 内 切 圆 的 圆 心 的 简 称 ; 外 心 :三 中 垂 线 的 交 点 ; 旁 心 :一 条 内 角 平 分 线 与 其 它 二 外 角 平 分 线 的 交 点 .(共 有 三 个 .)是 三 角 形 的 旁 切 圆的 圆 心 的 简 称 . 当 且 仅 当 三 角 形 是 正
2、 三 角 形 的 时 候 ,四 心 合 一 心 ,称 做 正 三 角 形 的 中 心 .1 三角形重心重 心 是 三 角 形 三 边 中 线 的 交 点 ， 三 线 交 一 可 用 燕 尾 定 理 证 明 ， 十 分 简 单 。 证 明 过程 又 是 塞 瓦 定 理 的 特 例 。 已 知 ： ABC 中 ， D 为 BC 中 点 ， E 为 AC 中 点 ， AD 与 BE 交 于 O， CO 延 长线 交 AB 于 F。 求 证 ： F 为 AB 中 点 。 证 明 ： 根 据 燕 尾 定 理 ， S AOB=S AOC， 又 S AOB=S BOC， S AOC=S BOC， 再 应 用
3、 燕 尾 定 理 即 得 AF=BF， 命 题 得 证 。 重 心 的 几 条 性 质 ： 1、 重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 2： 1。 2、 重 心 和 三 角 形 3 个 顶 点 组 成 的 3 个 三 角 形 面 积 相 等 。 3、 重 心 到 三 角 形 3 个 顶 点 距 离 的 平 方 和 最 小 。 4、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 ， 即 其 坐 标 为 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空 间 直 角 坐 标 系 横 坐
4、标 ： (X1+X2+X3)/3 纵 坐 标 ：(Y1+Y2+Y3)/3 竖 坐 标 ： （ z1+z2+z3） /3 5、 三 角 形 内 到 三 边 距 离 之 积 最 大 的 点 。 重 心 三 条 中 线 定 相 交 ， 交 点 位 置 真 奇 巧 ， 交 点 命 名 为 “重 心 ”， 重 心 性 质 要 明 了 ， 重 心 分 割 中 线 段 ， 数 段 之 比 听 分 晓 ； 长 短 之 比 二 比 一 ， 灵 活 运 用 掌 握 好 2 三 角 形 垂 心 的 性 质设 ABC 的 三 条 高 为 AD、 BE、 CF， 其 中 D、 E、 F 为 垂 足 ， 垂 心 为 H，
5、 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， p=(a+b+c)/2 1、 锐 角 三 角 形 的 垂 心 在 三 角 形 内 ； 直 角 三 角 形 的 垂 心 在 直 角 顶 点 上 ； 钝 角 三 角形 的 垂 心 在 三 角 形 外 . 2、 三 角 形 的 垂 心 是 它 垂 足 三 角 形 的 内 心 ； 或 者 说 ， 三 角 形 的 内 心 是 它 旁 心 三 角 形的 垂 心 ； 3、 垂 心 H 关 于 三 边 的 对 称 点 ， 均 在 ABC 的 外 接 圆 上 。 4、 ABC 中 ， 有 六 组 四 点 共 圆 ， 有 三 组 (每 组 四 个 )
6、相 似 的 直 角 三 角 形 ， 且 AHHD=BHHE=CHHF。 5、 H、 A、 B、 C 四 点 中 任 一 点 是 其 余 三 点 为 顶 点 的 三 角 形 的 垂 心 (并 称 这 样 的四 点 为 一 垂 心 组 )。 6、 ABC， ABH， BCH， ACH 的 外 接 圆 是 等 圆 。 7、 在 非 直 角 三 角 形 中 ， 过 H 的 直 线 交 AB、 AC 所 在 直 线 分 别 于 P、 Q， 则 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三 角 形 任 一 顶 点 到 垂 心 的 距 离 ， 等 于 外 心 到 对 边
7、 的 距 离 的 2 倍 。 9、 设 O， H 分 别 为 ABC 的 外 心 和 垂 心 ， 则 BAO= HAC， ABH= OBC， BCO= HCA。 10、 锐 角 三 角 形 的 垂 心 到 三 顶 点 的 距 离 之 和 等 于 其 内 切 圆 与 外 接 圆 半 径 之 和 的 2倍 。 11、 锐 角 三 角 形 的 垂 心 是 垂 足 三 角 形 的 内 心 ； 锐 角 三 角 形 的 内 接 三 角 形 (顶 点在 原 三 角 形 的 边 上 )中 ， 以 垂 足 三 角 形 的 周 长 最 短 。 12、 西 姆 松 (Simson)定 理 （ 西 姆 松 线 ） 从
8、 一 点 向 三 角 形 的 三 边 所 引 垂 线 的 垂 足 共 线 的 重 要 条 件 是 该 点 落 在 三 角 形 的 外 接圆 上 。3 三角形内心 定 义在 三 角 形 中 ,三 个 角 的 角 平 分 线 的 交 点 是 这 个 三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 而 三 角 形 内 切圆 的 圆 心 就 叫 做 三 角 形 的 内 心 , 三 角 形 内 心 的 性 质设 ABC 的 内 切 圆 为 I(r)， 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， p=(a+b+c)/2 1、 三 角 形 的 三 条 角 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 为
9、 三 角 形 的 内 心 2、 三 角 形 的 内 心 到 三 边 的 距 离 相 等 ， 都 等 于 内 切 圆 半 径 r 3、 r=S/p 4、 在 Rt ABC 中 ， C=90， r=(a+b-c)/2 5、 BIC=90+A/2 6、 点 O 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ， 点 I 是 ABC 内 心 的 充 要 条 件 是 ： a(向 量 OA)+b(向 量 OB)+c(向 量 OC)=向 量 0 7、 点 O 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ， 点 I 是 ABC 内 心 的 充 要 条 件 是 ： 向 量 OI=a(向 量 OA)+b(向 量 OB)+c(
10、向 量 OC)/(a+b+c) 8、 ABC 中 ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， 那 么 ABC 内 心 I 的 坐 标是 ： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)， ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c) 9、 (欧 拉 定 理 ) ABC 中 ， R 和 r 分 别 为 外 接 圆 为 和 内 切 圆 的 半 径 ， O 和 I 分 别为 其 外 心 和 内 心 ， 则 OI2=R2-2Rr 10、 （ 内 角 平 分 线 分 三 边 长 度 关 系 ） ABC 中 ， 0 为 内 心
11、 ， A 、 B、 C 的 内 角 平 分 线 分 别 交 BC、 AC、 AB于 Q、 P、 R， 则 BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b.三角形外心定 义三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 外 心 三 角 形 外 心 的 性 质设 ABC 的 外 接 圆 为 G(R)， 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， p=(a+b+c)/2 1、 三 角 形 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 的 交 于 一 点 ， 该 点 即 为 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 . 2、 锐 角 三 角 形 的 外 心 在 三 角 形
12、 内 ； 钝 角 三 角 形 的 外 心 在 三 角 形 外 ； 直 角 三 角 形 的外 心 在 斜 边 上 ， 与 斜 边 中 点 重 合 . 3、 GA=GB=GC=R. 3、 BGC=2 A， 或 BGC=2(180- A). 4、 R=abc/4S ABC. 5、 点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ， 那 么 点 G 是 ABC 外 心 的 充 要 条 件 是 ： (向 量 GA+向 量 GB)向 量 AB= (向 量 GB+向 量 GC)向 量 BC=(向 量 GC+向 量 GA)向 量 CA=向 量 0. 6、 点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ， 点 P 是 平 面
13、 ABC 上 任 意 一 点 ， 那 么 点 G 是 ABC 外 心 的 充 要 条 件 是 ： 向 量 PG=(tanB+tanC)向 量 PA+(tanC+tanA)向 量 PB+(tanA+tanB)向 量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 7、 点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ， 点 P 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ， 那 么 点 G 是 ABC 外 心 的 充 要 条 件 是 ： 向 量 PG=(cosA/2sinBsinC)向 量 PA+(cosB/2sinCsinA)向 量 PB+(cosC/2sinAsinB)向 量 PC. 8、 设 d1， d2， d3 分 别 是 三 角 形 三 个 顶 点 连 向 另 外 两 个 顶 点 向 量 的 点 乘 。 c1=d2d3， c2=d1d3， c3=d1d2； c=c1+c2+c3。 重 心 坐 标 ： ( (c2+c3)/2c， (c1+c3)/2c， (c1+c2)/2c )。
