1、第四讲 进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、认识进制n 进制：“逢 n 进一，借一当 n”，如：十进制的特点是“逢 10 进一，借一当十” 。N 进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。二、进制转换n 进制化十进制：位值原理法。十进制化 n 进制：倒取余数法。n 进制化 m 进制：先把 n 进制化成十进制，在把十进制化成 m 进制。特别地，n 进制化 na进制：从低位到高位，取 a 合一；n a进制化 n 进制：从低位到高位，取一分 a，不足位补 0.三、进制判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：1数字特征：
2、在 n 进制下，每个数字都不能大于(n1)，如在八进制下，每个数字都不能大于 7；反过来说，若 n 进制下出现 7 这个数字，则 n 必定大于 7，起码为八进制；2尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。例 1 （1）把下列各数转化为十进制数。(大写英文字母表示 10 以上进制中的数，如：A 表示 10，B 表示11，)(463)8= ；(2BA )12= ；(5 FC)16= .（2）(1001101010111100) 2=( )4=( )8=( )16.（3）请将十进制数 90 转化成七进制数是 ；(125) 7 转化为
3、八进制数是 。解：（1）(463) 8=482+68+3=307； (2BA)12=2122+1112+10=430； (5FC)16=5162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100) 2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=7 2+57+6=(156)7， (125)7=72+27+5=68=82+08+4=(104)8.例 2 （1）计算：(231) 5+(124)5= ，(251) 6+(434)6= ；（2）计算：(11000111) 2(10101)2(11)2=( )2；（3）计算：(45) 8(12)8(456
4、)8=( )8.解：（1）(231) 5+(124)5=(410)5， (251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111) 2(10101)2(11)2=(11000111)2(111)2= (11000000)2.（3）(45) 8(12)8(456)8=(562)8(456)8=(104)8.例 3 （1）算式 153425=43214 是 进制的乘法。（2） 进制下，13524=3636 成立。解：（1）答案：八进制因为算式中有数字 5，所以最少是六进制，又不足十进制，由个位 45=20，进位后余 4，这样 16 往前进位，不是 2、4，只能是 8 进制。（2）答案：
5、七进制因为算式中有数字 6，所以最少是七进制，又不足十进制，由个位 45=20，进位后余 6，这样 14 往前进位，不是 2、只能是 7 进制。例 4已知六进制的 化成九进制后可以写成 ，那么这个数写成十进制是 。abccba解：由已知得 36a+6b+c=81c+9b+a，所以 35a=3b+80c，其中 a、b、c 都是 0 到 5 之间的自然数，由于 35a、80c 都是 5 的倍数，所以 b=5，代入得 35a=15+80c，得 7a=3+16c，解得 c=2，a=5，所以原数是(552) 6=212.模块二、位值原理初步：例 5一个三位数 A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数
6、的差仍是 A，这个三位数 A 是 。解：设三个数字分别为 abc，则最大的三位数是 ，最小的三位数是 ，abccba =99(ac)，所以原来的三位数是 99 的倍数，abc99 的倍数有 198、297、396、495、594、693、792、891，这些数中，十位为 9，百位数字与个位数字和为 9，重新排列之后，最大的三位数的百位数字为 9，最小的三位数的个位数字为 9，而差的个位数字一定是 m，9 m n n m 9 mm+n=9， 10+n9=m，即 m=5，n=4，其中 954459=495，所以原数 A=495.模块三、位值原理进阶：例 6一个六位数，把它的末三位和前三位整体替换，
7、得到一个新六位数，并且，原六位数的 7 倍正好等于新六位数的 6 倍，则原来的六位数是 。解：设原来的六位数是 1000a+b，交换后为 1000b+a，其中 a、b 都是三位数，得 7(1000a+b)=6(1000b+a)，所以 6994a=5993b，(6994，5993)=13，所以 538a=461b，所以 a=461，b=538，原来的六位数是 461538.随 堂 练 习1(145) 8 化成十进制数是多少？十进制数 90 转化为七进制数是多少？解：(145) 8=182+48+5=101.90=172+57+6=(156)7.2在二进制中计算：(111) 2(101)2(111
8、100)2(11)2= .解：(111) 2(101)2(111100)2(11)2=(100011)2(10100)2=(1111)2.3记号(25) k 表示 k 进制的数，如果( )6 在十进制中表示为(35) 10，求 a 值。5a解：( )6=6a+5=35，解得 a=5，54在几进制中有 413=100？解：进位制一定大于等于 5，个位相乘 34=12，进位之后余 0，所以是六进制。检验(4) 6(13)6=(100)6. 正确。5三位数 比三位数 小 99，若 a、b、c 彼此不同，则 最大是多少？abc abc解：设 =99，所以 99(ca)=99，即 ca=1，若 最大，取 a=8，c=9，b=7，即 =879.
