1、1在运动中分析 在静态中求解动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以一道中考题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发题目 如图 1，已知点 A(2，0)，B(0，4) ，AOB 的平分线交 AB 于点 C，一动点P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度，沿 y 轴向点 B 作匀速运动，过点 P 且平行于 AB 的直线交
2、x 轴于点 Q，作点 P、Q 关于直线 OC 的对称点 M、N 设点 P 运动的时间为 t(0t2)秒(1)求 C 点的坐标，并直接写出点 M、N 的坐标（用含 t 的代数式表示） (2)设MNC 与OAB 重叠部分的面积为 S试求 S 关于 t 的函数关系式；在直角坐标系中，画出 S 关于 t 的函数图象，并回答： S 是否有最大值？若有，写出 S 的最大值；若没有，请说明理由一、探求解题思路1利用基础知识轻松求解由题意不难发现第 1 问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法，简解 1 可通过作辅助线，过点 C 作 CF 上 x 轴于点 F，CEy 轴于点 E，由题意，易知四边形
3、 OECF 为正方形，设正方形边长为 x由比例式求出点 C 的坐标( ， )43简解 2 由点 A、B 的坐标可得直线 AB 的解析式 y2x4；由 OC 是AOB 的平分线可得直线 OC 的解析式 yx；联立方程组轻松解得点 C 的坐标( ， )关于求点 M、N 的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得 P(0，2t)，Q(t ，0)，根据对称性可得 M(2t，0)，N(0，t).这样，第 1 问轻松获解2动静结合找界点，分类讨论细演算第 2 问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论，这是本题的难点之一；而关键是动静结合找界点，得出 t1 时重叠部分的关系会发生变化，这是本
4、题的难点之二解答时需动手画出草图，随着点 M、N 的位置的变化，MNC 的位置也随之发生变化，MNC 与OAB 重叠部分的面积 S 也发生变化.S 可能会存在两种情形：OAB 将MNC 全部覆盖；OAB 将MNC 部分覆盖；点 M 从点 O 出发运动到点 A 时，即 t1 时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变由 t1 这个界点确定两个范围，以此界值进行分类讨论：当 0t1 时，点 M 在线段 OA 上，OAB 将MNC 全部覆盖，重叠部分面积为SCMNS 四边形 CMONS OMN.结合点 C 的坐标( ， )，可得43SCMNt 22t；2当 1t2 时，点 M 在 OA 的延长
5、线上，设 MN 与 AB 交于点 D，OAB 将MNC部分覆盖，则重叠部分面积为 SCDN.另一个关键是要用 t 的代数式表示 D 点的横坐标，即BDN 的高，这是本题的难点之三由 M(2t，0)，N(0 ，t)可先用 t 的代数式表示直线 MN 的解析式 y 12xt 再结合直线 AB 的解析式 y2x4，联立方程组，解出 D 点的横坐标为 ，83t则重叠部分面积为SCDN SBDNSBCN2183t综上所述， 2(01)1823tySt由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，当 t1 时，S 有最大值，最大值为 1二、规范解答问题(1)如图 2，过点 C 作 CFx
6、轴于点 F，CE y 轴于点 E，由题意，易知四边形 OECF为正方形，设正方形边长为 xOP2DQP(0，2t)，Q(t，0).对称轴 OC 为第一象限的角平分线，3对称点坐标为：M(2t，0)， N(0，t).(2)当 0t1 时，如图 3 所示，点 M 在线段 OA 上，重叠部分面积为 SCMN.当 1t2 时，如图 4 所示，点 M 在 OA 的延长线上，设 MN 与 AB 交于点 D，则重叠部分面积为 SCDN设直线 MN 的解析式为 ykxb，将 M(2t，0)、N(0，t)代入，得20tkb综上所述， 2(01)1823tySt画出函数图象，如图 5 所示：观察图象可知，当 t1
7、 时， S 有最大值，最大值为 14三、解题反思1、关键的一步本题在突破第 2 问时，能否得出 t1 时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一步，否则就不知该如何分类讨论，解题就难以找到前进的方向2、解题难点解决本题的主要困难首先是分类讨论，依据题意知点 P 运动的时间为 t(0t2)秒，可以确定点肘、N 运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，由界点值划分范围，确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围） ，然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算） 其次是重叠面积分类，当
8、1t2 时，我们面对的困难是如何对重叠部分的面积进行分割；如何用 t 的代数式表示点 D 的横坐标；得出 SCDNSBDNSBCN 也是比较困难的；再者分类后的计算，稍不注意也可能出错3、解题收获解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静” ，在“静”中探求“动”的一般规律其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想
