1、周六自主招生培训讲座1第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数 的定义域为 ( a， b)，如果对于 ( a， b)内任意两数 x1， x2，都有)fx1212xfxff则称 为 ( a， b)上的下凸函数)fx注：若把式的不等号反向，则称这样的 为区间 ( a， b)上的上凸函数 （或凹函数）)fx下凸函数的几何意义：过 曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的()yfx上 方（或曲线上） 的二阶导数 ，则 为下凸函数； 的二阶导数 ，()fx()0fx()fx()fx()0fx则 为上凸函数。()f常见的上凸（凹）函数， 0=sin,cos,=lni,lcos2yx
2、yx， 上 ，常见的（下）凸函数， 231+， 上 ，二、琴生不等式性质：若 在区间 为下凸函数，则对 ，)(xfI Ixn,21总有 ；ffxfnf nn )()()21 当且仅当 时取到等号。12nx若 在区间 为上凸函数，则对 ，)(fI Ixn,21总有 。ffxfnxf nn )()()21 当且仅当 时取到等号。12n三、加权形式：周六自主招生培训讲座2+1212121R=1(),(+)+;nnn naafxabfxxffxa 对 任 意 一 列 ， ， ， ， ， 函 数 是 上 的 凸 函 数 ， 有+1212121 (),() .nnn nffaafafx 对 任 意 一 列
3、 ， ， ， ， ， 函 数 是 上 的 凹 函 数 ， 有附：应用 ，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式2xf，等号成立条件 。2213221 )(nnaaa naa21而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的，等号成立条件 。221221)( nnaaa naa21常用不等式： 121212121212+(t);00), 则 g”(x)= g (x) 在（0 ，+ ）上是凹函数，对于 ak2,(0, + ), (k=1,2,，n)，由琴生不等式：111ln()ln0()nkk nkkbaab11l knk故(ii) 由(i)知，g(x)=lnx 在
4、 上是凹函数，由琴生不等式：0,10 对于 bk (0,1), 且1nkb（*）22111ln()kknk66 6)21(sin )sinsini周六自主招生培训讲座60k1111112b,(0,)ln()ln,lln(*)kknknkkbkknbb对 于 且 从 而故 l例 11 (2012，湖北 22 题)（）已知函数 ，其中 为有理数，且 . 求 的(1)0rfxxr01r()fx最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设 ， 为正有理数. 若 ，则 ；120,a12,b12b1212baab（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当 为正有理数时，有求
5、导公式 .()x解析： (1)(I)()min0fxf（II） 证明：令 g(x)=lnx(x0), 则 g(x) 在 上为凹函数（1 题已证）0,)10 当 ， 中至少有一个为 0 时，则 成立；1a2 122baab20 若 ， 0 时，由琴生不等式： 1212lnln()babln12 121212ll()baab综上，原不等式成立。（III） 命题形式：设 则10, ,),nk kab 为 正 有 理 数 , (k=,若 11knnbka证明：1 0 当 , an 中至少有一个为 0 时，原不等式显然成立。1220 当 ak0 时，由琴生不等式：,) (=1111lnkknnbk knkba综上，原不等式成立。 例 12 设半径为 1 的半圆上依次有 个点 线段 的长度分别记为121,.nA 1iA周六自主招生培训讲座7，求证： ，其中,12,ian 2121()niiian12,.nnaa例 13 设 是圆的内接 边形，且 点在此 边形的内部。又设12nA On， 其中 求证：11,iiiia,2, 1,nA21sin.nia
