1、13.4.1 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 （单位：米，秒） ， 求证质点受恒力而运动，并求力的方jtitr)13()16(22向大小。解： , 为一与时间无关的恒矢量，jidtra6/2 jiamF124质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12 N，力与 x 轴之间夹角为：53426.0/arctgFarctgxy3.4.2 质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：，a,b, 为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。jtbitarsnco证明： rjtbitadr 222 )snco(/ , 作用于质点的合力总指向原点。mF3.4.4 桌面上叠放
2、着两块木板，质量各为 m1 ,m2,如图所示， m2 和桌面间的摩擦系数为 2，m 1 和 m2 间的摩擦系数为 1， 问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解：以地为参考系，隔离 m1、m 2，其受力与运动情况如图所示，其中，N 1=N1,f1=f1= 1N1,f2= 2N2，选图示坐标系 o-xy，对 m1,m2 分别应用牛顿二定律，有解方程组，0212221 gNaFm得 21 /Fga 要把木板从下面抽出来，必须满足 ，即2mgmF12121 gm21213.4.6 在图示的装置中两物体的质量各为 m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为 ，求在力 F 的作用下两物体的
3、加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。m1m2 Fm1gf1N1a1a2N2N1m2gFf1f2xy2解：以地为参考系，隔离 m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1= N1=m 1g，f 2=N 2=(N 1+m2g)=(m 1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： amTggFaT 22111 )(+可求得： m21将 a 代入中，可求得： 21)(gT3.4.7 在图示的装置中，物体 A,B,C 的质量各为 m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体 A,B 与桌面间的摩擦系数为 ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸
4、长。解：以地为参考系，隔离 A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f 1=N 1=m 1g，f 2=N 2=m 2g，T=2T ，由于 A 的位移加 B 的位移除 2 等于 C 的位移，所以（a 1+a2）/2=a 3. 对 A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律： 2/)(133 21amTgagT,联立，可求得： gmaga213213 213212 213214)()(4)(3.4.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为 2kg，t=0 时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动） 。解：根据推力 F-t 图像，可知 F
5、=4.9t（t20）,令 F=mg，即 4.9t=29.8， t=4s。因此，火箭发射可分为三个阶段：t=04s 为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2CA BTf1N1m1ga1T f2N2m2ga2Tm3ga3t(s)F(N)98203YY2Y10v=0,y=0；t=420s 为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设 t=20s 时，y = y1，v = vmax ； t20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dtmydttdtdvtystttddvt
6、tgtmF16729.48.94/. )(/3)2020./9.894./.4/ 200402max01第三阶段运动学方程 )2(0(.)(3),(8.9311 tttv令 v=0,由（1）求得达最大高度 y2 时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得 y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)3.4.13 抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为 y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？若为圆形光滑弯管，情况如何？解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为 ，小环受力及运动情况如图示： 为
7、小环处切线与 x 轴夹角，压力 N 与切线垂直，加速度大小 a= 2x，方向垂直指向 y 轴。在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式： mgNcos)90sin(inco2/得：tg= 2x/g ；由数学知识：tg=dy/dx=2 ax；所以， gaxa2,/2若弯管为半径为 R 的圆形，圆方程为： x2 + (R-y)2 = R2，即22/121 /1/12 )()(/ )(,)( Rxdxytg xyyR代入中，得： /,/ g3.5.1 小车以匀加速度 a 沿倾角为 的斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解） 。解：（1）以地为参考系（惯性系）
8、 ，小球受重力 W 和线拉力 T 的作用，加速度 a 沿xymgNa f*=maayxTW=mg4斜面向下，建立图示坐标 o-xy,应用牛顿第二定律： sincosinmaTg解得 )i/(cosatg（2）以小车为参考系（非惯性系） ，小球除受重力 W、拉力 T 外，还受惯性力 f*的作用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律： 解得 0sincosinmaTg sincoagt3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为 m1,m2 且 m1m 2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度 a（方向向下）运动时，两物体的加速
9、度各是多少？绳内的张力是多少？ T Tf1* f2* aa1 a2m1g m2g解：以升降机为参考系,隔离 m1,m2,受力及运动情况如图示 ,T 为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1=a2=a为 m1、m 2 相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有：解得：22111Tgm)/()2( 2112magTga设 m1、m 2 的加速度分别为 a1、a 2，根据相对运动的加速度公式，写成标量式： ，将 a代入，求得：a a,21)(2)21121mga3.5.4 摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为 3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为 0.6，求摩托车
10、最小线速度（取非惯性系做）解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为 ，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。T Tf1* f2* aa1 a2m1g m2gT Tf1* f2* aa1 a2m1g m2gT Tf1* f2* aa1 a2m1g m2gT Tf1* f2* aa1 a2m1g m2gT Tf1* f2* aa1 a2m1g m2gm1 m2m1 m2m1 m2m1 m2m1 m2m1 m2mgNf= 0Nf*=m 2r5在竖直方向应用平衡条件， 0N = mg 在水平方向应用平衡条件，N = m 2 r /得： grg020,最小线速度 smv /76.0/89
11、.3/3.6.2 一质量为 m 的质点在 o-xy 平面上运动，其位置矢量为：，求质点的动量。jtbitarsnco解：质点速度： jtbitadrv cossn/ 质点动量： mpi大小： ttyx222 css方向：与 x 轴夹角为 ，tg = py/px = - ctgt b/a3.6.4 棒球质量为 0.14kg,棒球沿水平方向以速率 50m/s 投来，经棒击球后，球沿水平成 30 飞出，速率为 80m/s，球与棒接触时间为 0.02s，求棒击球的平均力。 v解：以地为参考系，把球视为质点， 30 v0由动量定理， ，画出矢0vmtF量图，由余弦定理， ，代入数据，可求得2/10202
12、)3cos( vmF=881N.由正弦定理 mv Ft ，代入数据， 30 30sin/si/tmv求得 mv0218,79.3.6.6 质量 m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m 1, m2 和 m4 三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是： (x,y)=(1,-1)，求 m3 的位置坐标。解：由质心定义式： ，有11411,iiCiiCyx,)432(3)2()1( 34xxx61),(4321()43021 344 yymmmC3.7.1 质量为 1500kg 的汽车在静止的驳船上在 5s
13、内自静止加速至 5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）解：（1）用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力 F 的作用， 应用质点系动量定理，有 F t=m1vF=m 1v/ t=15005/5=1500N（2）用质心运动定理解：F=(m 1+m2)ac ,据质心定义式，有：(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1 为车对岸的加速度，a 1=(v-0)/ t=v/ t，a2 为船对地的加速度，据题意 a2=0，a c=a1m1/(m1+m2)，代入 a1，ac=m1v/(m1+m2) t ，
14、F=m 1v/ t=1500N（3）用牛顿定律解： a2=0 a1分别分析车、船两个质点的 F f f 受力与运动情况：其中 f 为静摩擦力，a 1=v/ t，对两个质点分别应用牛顿二定律： NffNvmf 150050/ 3.7.2 汽车质量 m1=1500kg，驳船质量 m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度 0.2ms-2 前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度 0.5ms-2 与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？解：用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车
15、运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等aC=0.2m/s2设车运动时相对船的加速度为 a，相对地的加速度为 a1，船相对地的加速度为 a2，由相对运动公式： ,21a由质心定义式可知： Cmm)(2121将代入中，可得： ，取船前进方向为正，代入数据：21aCm/s23.0)5(2.06015a用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为 F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m 1+m2)的质点，加速度为 a=0.2，由牛顿第二定律： am)(21设车运动时相对船的加速度为 a，相对地的加速度为 a1，船相对地的加速度为 a2，由相对运动公式： 对车、船应用质点系动量定理的导数形式：,2
16、1am2 m1X m1Fxm1m2a2ax72212121 )(amammFdtvdtv 令=， ,取船前进方向为正，代,)()( 21入数据： m/s23.05.060152a3.7.5 70kg 重的人和 210kg 重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m 停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。解：以地为参考系，选图示坐标 o-x,设人的质量为 m1=70kg，人相对地的速度为 v1， 相对船的速度为 v1，它们的方向显然与 x 轴同向；设船的质量为 m2=210kg，船相对地的速度为 v2， （方向显然与 x 轴相反） ；据相对运动的速度变换公式，人
17、对地的速度 v1=v1+v2.由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0， 即 m1(v1+ v2)+m2 v2=0 ，可求得v2= - v1m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间 t，v 2 t=s2 为船相对地的位移，v1 t=s1=3.2m，即s2 = - s1m1/(m1+m2) = - 3.270/(70+210) = - 0.8m3.7.6 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为 M，弹丸质量为 m，炮
18、口到对面墙壁的距离为 L,不计铁轨作用于车厢的阻力。解：以地为参考系,建立图示坐标 o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v, 对地的速度为 v, 车后退的速度为 V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v+V由于不计路轨对车的摩擦 阻力，所以，在水平方向，弹、车组成的质点系动量守恒，有 MV+m v=0，将 v 代入，MV+m(v+V)=0，V= - vm/(m+M) 设弹发出到与车壁相碰所用时间为 t，用 t 乘上式两边，得：V t= - v t m/(m+M)，其中：v t= -L， V t 即为车在此过程中前进的距离 S，S=Lm/(m+M)3.8.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成 45
19、，投出的速率为 25m/s，在刚要接触与发射点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的三块，一块以速度 v3 铅直朝下，一块顺爆炸处切线方向以 v2=15m/s 飞出，一块沿法线方向以 v1 飞出，求 v1 和 v3，不计空气阻力。 解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。设手榴弹质量为 m,爆炸前速度为 v，由动量守恒，有：，投影方程：321321/3/ vmvvm 32145sinsi45sincocco，即m1m2xx LMvmV8)2(45sin/3)1(3 32121 vvv解得
20、： m/79045sin)(213yv v2 v145 45 45xv3 v3.8.3 三只质量均为 M 的小船鱼贯而行，速度都是 v，中间一船同时以水平速度 u(相对于此船) 把两质量均为 m 的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？解：以岸为参考系， M v M v M v以船前进的方向为坐标 的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1后，前边船、中间船、后边船的速度变为 v1、v 2、v 3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即(M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（ v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v 3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v 2=v，说明中间船的速度没有发生变化。
