1、第二章 导数与微分知识点：与与与与与与与与与教学目的要求：（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。（2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。（3）理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。教学重点：1导数的概念2导数的几何意义3导数的基本公式4四则运算求导法则5复合函数求导法则6隐函数的求导法则7一阶微分的形式不变性教学难点：1导数的概念2复合函数的求导法则3隐函数的求导法则4微分的形式不变性第一节 导数的概念Oxyxc)(xf
2、yQy0PTR【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。【教学重点】1导数的定义；2用导数的定义求函数在某点的导数；3导数的几何意义。【教学难点】1导数的定义；2函数可导与连续的关系。【教学时数】2 学时【教学进程】一、两个引例引例 1 自由落体运动的瞬时速度。提问：1自由落体运动的位移公式；2自由落体运动的瞬时速度公式；3自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论） 。由学生回答可知自由落体运动的位移公式为 ，由于物体的位移2gt1)t(s是随时间
3、连续变化的，因此在很短的时间间隔 内（从 到 ）内，速度变化不st 0大，可以用平均速度 作为 时的瞬时速度 的近似值，即t)(s(stv000t)t(v0= =)t(v0t)(s(st00 tgt21)(g21002tg1显然， 越小， 与 越接近，当 无限变小时，平均速度就无限接近 时的瞬v)0t 0时速度由此，令 ，如果平均速度 的极限存在，就把它定义为物体在时刻 的t ts t瞬时速度 ，即)(0tv= =)t(v0)tg21t(lim0t0总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得： tssttvtt )(lili)( 000引例 2 平面曲线的切线斜率提问：1什么叫
4、做圆的切线？2一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论）定义 设点 是曲线 上的一个定点，在曲线 上PCC另取一点 ，作割线 ，当动点 沿曲线 向点QQ移动时，割线 绕点 旋转，设其极限位置为 ，P则直线 称为曲线 在点 的切线如右图所示PTP设曲线 的方程是 ，记点 的横坐标为 ，点 的横坐标为C)x(fyP0xQ（ 可正可负） ， 平行 轴，设 的倾角为 ，则 的斜率为x0RP显然PRQtan x)(f)(fPtan00当点 沿曲线 无限趋近于点 时（这时 ， 也趋近于 的倾角 ，这时C)PT切线 的斜率Tx(f(flimxylitan000综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的
5、背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。二、导数的定义1导数的定义。定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量 在点 处有增量)x(fy0 x0（点 仍在该邻域内）时，相应地函数有增量x0 )x(f(f00如果极限 存在，则称函数 在点 处可导，并称此极限值为函数xylim0)y在点 处的导数记作 ，也可记作 ， 或 )(fyx(f0 0xy 0xdy即0xd= =)x(f0limx)(f(fli00x这时就称函数 在点 的导数存在，或称函数 在点 可导；如果极y0 )(fy0限不存在，则称函数 在点 不可导。)x(f2由导数的定义求函数的导数。设函数 ，求
6、该函数在 处的导数的步骤：)(fy0 在 处给定0x)x 求增量 )(f(f00 算比值 xxy 取极限 xylimy0x0例 1 已知函数 ，求 。2)1(f解 在 处给定0（1）求增量 22)x(1)x()1fx(fy （2）算比值 2（3）取极限 xylim02)x(li0因此， =2)1(f3几点说明。1）函数 在点 处的导数也称为函数 在点 处对自变量的变化率。)x(fy0 )x(fy02）当极限 与 存在时，分别称它们)x(flim00x )lim0为 的左导数与右导数，记为 与 。且 存在当且仅当 与0 )(f0)(f0)x(f0 )x(f0都存在且相等。 （利用极限存在的充要条
7、件理解）)(f3）函数 在点 处的导数 ，就是导函数 在点 处的函数值，)x(fy0)x(f0 )(f0即 = 。 （通过例 1 中改变 值的改变进行说明）)(f004）如果函数 在 ， 内每一点 处可导，则称函数 在区间 ， 内可)(fa)b)x(fa()b导显然导数值 也是 的函数，我们称它为函数 的导函数，今后在不会发x y生混淆的情况下，也简称导数记作 ， ， 或 ，即)x(fdx)(f= lim0x讨论：函数 的导数是什么？（结论： ）2xy2)(思考：函数 的导数是什么？（结论： ）)Nn(1nnx)(拓展：函数 的导数是什么？（结论： ）R如 ， 等。x21)x(21 21x1)
8、x(5）如果函数 在 ， 内可导，且在 点右导数存在，在 点右导数存在，则称fa()bab函数 在闭区间 ， 上可导。)x(f三、导数的几何意义由引例 2 的分析可知导数的几何意义为：函数 在点 的导数 表示)x(fy0)x(f0曲线 在点 ， 的切线的斜率。因此有)x(fy0)x(f 当函数 在点 处可导时，曲线 在点 ， 的切线方0)(f0)(f程为 )(f00 曲线 在点 ， 的法线方程为)x(yxf0与与与 0)x(fx)(f1y000 如果 在点 连续且导数为无穷大，则曲线在点 ， 的切线方程)(fy )(f为 ；法线方程为0x0y例 2 求曲线 在点(1，1)处的切线和法线方程。解
9、 因为 ，所以 于是曲线 在点(1，1)处的切线x21)(y 21yxxy方程为 即10曲线 在点(1，1)处的法线方程为 即xy )1x(y03y2四、可导与连续的关系定理 如果函数 在点 处可导，则 在点 处必连续)(f0x)(f0注：如果函数 在点 处连续， 在点 处未必可导。yx*例 3 证明函数 | |在 点连续，但不可导。证明 在 处， | |-| | | |，因此 | |=00xx00x0xlimyli所以函数 | |在 点连续。y又 xlimyli00x而 1xlilili 00x0x liliyli 0x0x0x 因此 不存在，所以函数 | |在 点不可导。lim0x y0x
10、注：出现尖点不可导。本堂课小结：主要内容：两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。重点：1导数的定义；2用导数的定义求函数在某点的导数；3导数的几何意义。难点：1导数的定义；2函数可导与连续的关系。xyo第二节 导数的基本公式与运算法则【教学内容】导数的基本公式；四则运算求导法则；求导法则应用举例。【教学目的】使学生熟记与理解导数的基本公式与四则运算求导法则并能熟练应用。【教学重点】1导数的基本公式；2四则运算求导法则。 【教学难点】公式的应用。 【教学时数】2 学时【教学进程】一、导数的基本公式提问：1导数可以由哪一个极限式子表示？ 2根据导数的定义求函数的导数有哪几步？
11、3导函数与函数在某点导数之间有什么关系？例 1 求函数 且 的导数。0(logaxy)1解 xxaxaaxx logimloglimli 000axax100 )(lilog1ixxa10)(li xealnlog由此得到 aln)(log特别 x1n1罗列导数基本公式。（ 为任意常数） ； （ 为实数） ；0C1)(x，特别： ；)1,0(ln)(aax xe，特别： ；l1log )(ln； ；xcs)(si xsico22eotan x22csin1)(t xxtansc)(e xotcs； ；21)(arcsinx 21)(arcosxx； 。2)(rt 2)t(r注：要求学生默记约
12、5 分钟。2分析部分基本公式特征。课堂练习：在下列空格处填上适当的函数使等式成立：1） = ； （答案：0）2） = ； （答案： ）)(xx213） = ； （答案：0）4） = ； （答案： ）)(lnxx15） = ； （答案：0）26） = ； （答案： ）)1(x32x7） = 。 （答案： ）2 ln)1(二、导数的四则运算法则定理 设函数 与 在点 处可导，则它们的和（差）函数)(xu)(vx在 处也可导，且 也就是说：两个可导函数代)(xvu数和的导数等于各个函数导数的代数和。推广 有限个可导函数代数和的导数等于和个函数导数的代数和，即 )()(21 xuxun )()(21x
13、uxn例 2 已知 ，求 。fsi2f解 )(x)x)(sin2xxcos例 3 已知 ，求 及 。efarctf)0(f解 )(x)nxx (arctxex 21xe)0(f 012e定理 设函数 与 在点 处可导，则它们的积函数 在 处)(xu)(vx)(xvu也可导，且 。)(v此结论也可以推广到有限个函数的积的情形如推广到三个函数乘积的情况为 )()()()()()()( xwvuxvuxwvuxwu 推论 （ 为常数） C例 4 已知 ，求 。xyln2y解 。)(lnl)(2 xx1l2xln例 5 已知 ，求 xyarcty解 )(arctnarctn)(tn( xxx 212a
14、rctx例 6 已知 ，求 。2t3xeyxy解 )(tan)( xex2sectan3定理 设函数 与 在点 处可导，且 ，则它们的商函数xuv0)(v在 处也可导，且 )(xvu )()(2xuv推论 。)()(12xxv0)(例 7 已知 ，求 。ylny解 222 ln1ll)(l xxx例 8 设 ，求 。ytany解 xx2cos)(in)(sicosi 。x22sec1si即 xx22seco1)(tan例 9 设 ，求 。ysecy解 xos1)( xxxsectancos)i(cs)(22即 xtanecs例 10 求 的导数。xysi1解 in2)sin1()cos(coxx2)sin1(cx例 11 求 的导数。xxyarsi51解 221rcin)( 2215arcsin5)(xx例 12 求 的导数。xy53解 因为 ，所以12 2352xy例 13 求 的导数。xeyxcosins解 因为 ，所以xi222 xeyx22csln)2(说明：四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达适当变形后再应用公式。课堂练习：1推导公式 与 。xx22cssin1)(cot xcots)(c2求下列函数的导数：（答案： ）xyln3 22ln3y（答案： ）cot xx2csot（答案： ）xyls3 xy coslnilcs232
