1、1判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC上,且 AE=CF,试说明四边形 DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用 “两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O. 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AO=CO,BO=DO. 又 AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF,即 EO=FO. 所以四边形 DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对
2、边分别相等的四边形是平行四边形”判别例 2 如图 2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 进行判别.解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形 ABCF 是平行四边形.同样可知四边形 FCDE、四边形 ACDF 都是平行四四边形.因为 AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形 ABDE 也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例 3 如图 3，E、F 是四边形
3、 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE =CF,DF=BE,DFBE ，试说明四边形 ABCD 是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADFCBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为 DFBE ，所以AFD=CEB .因为 AE=CF,所以 AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.又 DF=BE,所以ADFCBE ，所以 AD=BC，DAF=BCE ，所以 ADBC.所以四边形 ABCD 是平行四边形.A C图2B C图2C C图2D C图2O C图2E C图2F C图2图 1图
4、 2AB C DEFA图 3CDE FB2四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，DAB 、BCD的平分线分别交 BC、AD 边于点 E、F，则四边形 AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得 AFEC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形 AECF 是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以ADBC ，DAB =BCD，所以 AFEC.又因为 1= DAB ，2= BCD，2121所以1=2.因为 A
5、DBC，所以2=3，所以1=3，所以 AECF .所以四边形 AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、 两组对边分别平行如图 1，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边BC、AC 上，且 CD=CE，连结 DE 并延长至点 F，使EF=AE，连结 AF、BE 和 CFA FB D CE图 1AB CDEF图 41 323(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)
6、判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证BDEFEC证明：ABC 是等边三角形，BC=AC，ACD=60CD=CE，BD =AE，EDC 是等边三角形DE= EC，CDE= DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE，BD =FE，BDEFEC（2）四边形 ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF 都是等边三角形CDE=ABC= EFA=60ABDF ，BDAF四边形 ABDF 是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、 一组
7、对边平行且相等例 2 已知：如图 2，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CE=CG，连结 BG 并延长交 DE 于 F(1)求证：BCGDCE；(2)将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE，判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于 ABCD 是正方形，所以有ABDC，又通过旋转 CE=AE已知 CE=CG，所以EA=CG，这样就有 BE=GD，可证 EBGD 是平行四边形。解：（1）ABCD 是正方形，BCD=DCE=90又CG=CE ，BCGDCE（2）DCE 绕 D 顺时针旋转 90得到 DAE，CE=AE， CE=C
8、G，CG=AE，四边形 ABCD 是正方形BEDG，AB=CD4AB- AE=CD-CG，即 BE=DG四边形 DEBG 是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、 两组对边分别相等例 3 如图 3 所示，在ABC 中，分别以 AB、AC 、BC为边在 BC 的同侧作等边ABD，等边ACE ，等边BCF。求证：四边形 DAEF 是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形 DAEF 的两组对边分别相等，从而四边形 DAEF 是平行四边形。解：ABD 和FBC 都是等边三角形DBF+FBA= ABC +FBA=60DBF=ABC又BD= BA，
9、BF =BC ABCDBFAC=DF=AE 同理ABC EFCAB=EF=AD四边形 ADFE 是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、 对角线互相平分例 4 已知：如图 4，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和BD 相交于 O，AE BD 于 E，BFAC 于 F，CGBD于 G，DHAC 于 H，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。图 4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形 EFGH 的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。5证明：AEBD ，CG BD，AEO=C
10、GO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE =OG同理BOFDOHOF= OH四边形 EFGH 是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、 两组对角相等例 5 将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一起四边形 ABCD 是平行四边形吗？理由 。(1)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，理由如下：ABC=ABD
11、+DBC=30+90=120 ，ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60，C=60 ，ABC= ADC，A=C（2）四边形 ABC1D1是平行四边形，理由如下：将 RtBCD 沿射线方向平移到 RtB 1C1D1的位置6时，有 RtC 1BB1Rt ADD 1C 1BB1=AD 1D，BC 1B1=DAD 1有C 1BA=ABD +C 1BB1=C 1D1B1+AD 1B=AD1C1，BC 1D1=BC 1B1+B 1C1D1=D 1AD+DAB=D 1AB所以四边形 ABC1D1是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知 ABCD 是平行四边形，ABCD，将Rt BCD 沿
12、射线 BD 方向平移到 RtB 1C1D1的位置时，始终有 ABC 1D1，故 ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形” 这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边” 关系思路 1：证明两组对边分别相等例 1 如图 1 所示，在ABC 中，ACB90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且AFCE.求证：四边形 ACEF 是平行四边形. 证明：DE 是 BC 的垂直平分线，DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90. DFAC .CE = AE = AB.211 = 2 .
13、 =ABCDEF（图 1）1 237又EFAC， AF = CE = AE ，2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四边形 ACEF 是平行四边形. 思路 2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图 2，在ABC 中，AB AC ，E 是 AB 的中点，D 在 BC 上，延长 ED 到 F，使 ED = DF = EB. 连结 FC.求证：四边形 AEFC 是平行四边形. 证明：ABAC，B =ACB .ED = EB ，B =EDB.ACB = EDB . EF AC .E 是 AB 的中点， BD = CD.EDB =FDC，ED = DF，EDBFDC. DEB =F
14、.ABCF.四边形 AEFC 是平行四边形.思路 3：证明一组对边平行且相等例 3 如图 3，已知平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是AB、 CD 上的点，AE = CF， M、N 分别是 DE、BF 的中点.求证：四边形 ENFM 是平行四边形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD = BC，A =C .又AE = CF，ADE CBF .1 =2，DE = BF .M、N 分别是 DE、BF 的中点，EM = FN .DCAB ，3 =2.1 =3. EM FN .四边形 ENFM 是平行四边形.二、考虑“对角” 关系 思路：证明两组对角分别相等例 4 如图 4，在正方形 AB
15、CD 中，点 E、F 分别是 AD、 BC 的中点.求证：（1）ABECDF；（2）四边形 BFDE 是平行四边形. 证明：（1）在正方形 ABCD 中，AB = CD，AD = AB CDEFEAB CD1234（图4）FA BCDEFMN33218BC，A = C =90， AE = AD，CF = BC，21AE = CF. ABECDF .（2）由（1）ABECDF 知，1 =2，3 = 4. BED =DFB .在正方形 ABCD 中，ABC = ADC，EBF =EDF. 四边形 BFDE 是平行四边形.三、考虑“对角线” 的关系 思路：证明两条对角线相互平分例 5 如图 5，在平
16、行四边形 ABCD 中， P1、P 2是对角线 BD 的三等分点.求证：四边形 AP1CP2是平行四边形. 证明：连结 AC 交 BD 于 O.四边形 ABCD 是平行四边形，OA = OC ，OB = OD.BP 1 = DP2 ，OP 1 = OP2 .四边形 AP1CP2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。1 利用定义或定理直接识别平行四边形1.1 两组对边分别平行，如图
17、 1,ABCD,ADBC。1.2 两组对边分别相等，如图 1,AB=CD,AC=BC。1.3 两组对角分别相等，如图 1,ABC=ADC,BAD= BCD。1.4 一组对边平行且相等，如图 1,ABCD,AB=CD。1.5 两条对角线互相平分，如图 1,OA=OC,OB=OD。2 利用定义和定理间接识别平行四边形2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图1,ABCD ,ABC= ADC。AB CDOP1 P2（图5）图1ODCBA9证明：ABCD ABC +BCD=180 又ABC =ADC ADC BCD180 ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形( 两组对边分别平行)2.2 一组对边平行
18、且两条对角线交点平分一条对角线，如图 1, ABCD，OA=OC。证明：ABCD BAC =DCA 在AOB 和COD 中，BAC=DCA，OA =OC，AOB=COD AOBCOD( ASA) AB=CD 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等）2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图 1,DAB+ABC=180, ABC +BCD=180。证明：DAB+ABC=180 AD BC 又ABC +BCD=180 ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边平行）3 不能识别为平行四边形3.1 两组不同的邻角互补，如图 2,A+ B=180, C+ D=180,可
19、以画出梯形。3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图 3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图 4, A =D,B=C,可以画出等腰梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，如图 4,ADBC,AB =CD,也可以画出等腰梯形。3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图 5：作ABC,在边 BA 上确定点A,在边 BC 上确定点 C,过点 A、B、C 作O 1,以点 C为圆心，以线段 AB 长为半径作C ,以 AC 为弦作O1的等圆O2,交C
20、于 D、E 两点，则四边形 ABCD 为平行四边形，而四边形 ABCE 即为符合条件的非平行四边形，即 AB=CE,ABC= AEC。3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图6：作线段 AB,过线段 AB 的中点 O 作直线CD,过点 B 作 BECD,垂足为 E,以点 E 为圆心，小于线段 OE 的长为半径作 E,交 CD 于F、G 两点，以点 A 为圆心， BF 长为半径作A ,交直线 CD 于 H、I 两点，则四边形 AGBH图4DCBA图2DCBA 图3DCBA图5O2O1EDCB A 图6 IHGF E D C OBA10和四边形 AFB
21、I 为平行四边形，而四边形 AGBI 和四边形AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形 AGBI 中，AI=BG,OA=OB。 说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”例 1 如图 1，在ABC 中，AD 是角的平分线，DE/AC交 AB 于点 E， EF/BC 交 AC 于点 F，试说明 AE=CF
