1、毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 1 of 21相似三角形综合应用2014 年中考怎么考内容 基本要求 略高要求相似三角形 了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题自检自查必考点模型一 角分线模型1、内角平分线是 的角平分线，则ADBCABDC【证明】过 作 交直线 于 .E E ， ，123又 平分 ，AB ， ，E ，C由 可得： ，D AE AB2、外角平分线的外角平分线交对边 的延长线于 ，则BACBCDABC【证明】过 作 交直线 于 .EAD E ， ，1324又 平分 ，F ， ，
2、，AEC由 可得： ，D ABE321ED CBAD CBADCBAF4321EDCBA毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 2 of 21 ABDC模型二 梯形模型若 ，则ab 22ADEBECDSSaba EDCBA中考满分必做题考点一 与公共边有关的相似问题【例 1】 如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 的中点，连接 交 于 ，ABCDACBDGEADBEACF连接 ，若 ，则下列四对三角形： 与 ； 与 ；F90 C F D与 ； 与 ，其中相似的为（ ） G F GAB CDEFA B C D【答案】D【解析】 ， ，故2EF2EFBEB 【例
3、2】 如图，矩形 中， 于 ， 恰是 的中点，下列式子成立的是（ ）DAC FED CBAA B C D221F2213FA221BFA2213BF【答案】A【例 3】 如图， 中， 于 ， 于 ， 于 ，交 于 ， 、 的CDEEGFDAC延长线交于点 ，求证： .H2FGH毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 3 of 21HGDF ECBA【解析】可通过射影定理转化成证明 ，证明 即可.AFBGHBFGHA【例 4】 如图， 中， ， 于 为 的中点， 的延长线交于 ABC90CDE， CDEC， F求证： FD 321FDECBA【答案】 ， 为 中点， ，
4、，又 ，CDBECEDC129090B，又 ， ， ，又13FFA D ， ， ， 90A， B ACAFD【巩固】在 中，过直角顶点 作斜边 的垂线 ，取 的中点 ，连接 并延长交 的RtBC ACDBEBA延长于点 ，求证：FDBFEDCBA【解析】 ，FADB FADBC【例 5】 如图，在 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ，CADEBCF毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 4 of 21求证： 2FDBC EFD CBA4321AEB D C F【答案】连接 垂直平分 ， ， ，即 ，又AFEAF4A23， ， 平分 ， ， ，又412
5、31BC1B， ， 又 ，C 2 F【巩固】如上图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ，B2DCADECF求证： 平分 A EFD CBA【答案】连接 ， 垂直平分 ，AFEAD ， ， ，又 D2FCB2FCAFAB， ， ， ， ，CB 34341231，即 平分 12【例 6】 已知，如图， 为等边三角形， 且 的两边交直线 于 两点，求A120DAEAECDE，证： 2DEED CBA32 1ED CBA【解析】 ， 又12060DAEBC， 1260 ， ， ，3602E毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 5 of 21 ， ， ，即36
6、0ABC120ABDCEABDEC ABE， ， E 考点二 与旋转有关的相似问题【例 7】 如图，直角梯形 中， ， ， ， 为梯形内一点，且90 E，将 绕 点旋转 使 与 重合，得到 ，连 交 于 已90BCBCBCDCFDM知 ，则 的值为（ ）53F， :DMA B C D :54:33:4 MFEDCBA【答案】C【例 8】 如图，四边形 和 均为正方形，求 _.ABCDEFG:AGDFCE AB CDEFGGFEDCBA【答案】连接 。 ， BDF， ,ABCGEAC,AAB AGCE45,2FD 45,2BDEFBEC FB:1:2AGDCE【例 9】 （1）如图 1，等边 中
7、， 为 边上的动点，以 为一边，向上作等边 ，连接 ABCD，求证： AE（2）如图 2，将（1）中的等边 改为以 为底边的等腰三角形，所作的 改成相似 EC于 ，请问：是否有 ？证明你的结论BC EC毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 6 of 21EDCBA D EB CA【答案】 （1）由 ，得 ，故 ACEBD EACAE（2）由 ，得 ，故 考点三 与三角形有关的相似综合题【例 10】如图， 内有一点 ，过 作各边的平行线，把 分成三个三角形和三个平行四边 PBC形若三个三角形的面积 分别为 ，则 的面积是_123S， ， 12， ， A PS3S2S1I
8、H GF EDCBA【解析】设 的面积为 ，则 ，故ABC S312 1SPDEHGCBC212364S【答案】 64【例 11】如图所示， 是一个凸六边形， 、 、 分别是直线 与 、 与 、 与ABCDEFPQRBAEFCD的交点， 、 、 分别是 与 、 与 、 与 的交点，如果STUBCEDFCABPR ，求证： RQP STAU TSUR QPFEDCBA【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且 、 、 构成一个与 相似的三角ABDEFPR形的三边，因而可以考虑通过平移变换将 、 、 集中到一起构成一个与 相似的三C角形如图所示，将 平移至 位置，则 ，且 ，CDOE O
9、=毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 7 of 21TSUR QPOFEDCBA所以 ，且 ，FEOQRCDQEFP 因此 ，从而 ，且 P ORQABPR 这说明 ，且 ，进而 ，且 AB F=AB O=又因为 ，于是 ，所以 ，CD STU SCTU 注意到 ， ，故 【例 12】已知： 的高 所在直线与高 所在直线相交于点 EF（1）如图 l，若 为锐角三角形，且 ，过点 作 ，交直线 于点 ，AB45ABGBC AG求证： ；FGDC（2）如图 2，若 ，过点 作 ，交直线 于点 ，则 之间135FGC AFD、 、满足的数量关系是_；（3）在（2）的条件下
10、，若 ， ，将一个 角的顶点与点 重合并绕点 旋转，2A3D45B这个角的两边分别交线段 于 两点（如图 3），连接 ，线段 分别与线段 、线GMN， FCM段 相交于 两点，若 ，求线段 的长BNPQ， PQ 图1G FEDCBA 图2 GFED CBA 图3NQPABCDEF GM【答案】 （1）证明： ，9045AD， 45BAADB ， ，BECE90CE ， FF ， ，45GGDFF（2） （3）如图， ， ， ，1ABAB90AB45ABDABD ， ， FC G22G，5 ，由（2）知 ， ，3DFGDC213CF，毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page
11、 8 of 21 为等腰直角三角形FDC232GCDF分别过 ， 作 于点 于点 四边形 为矩形BNHFNKBDFHB ，23， H2G sinKG494 5MM90NK BHN BK1F CF CFPCBM， P 32P KHMGFED CBAPQN ，BQCNFBCQNF BCQ27F 232956P考点四 与相似有关的动点问题【例 13】如图， 中， ，点 从 出发，沿 方向以 的速度移动，ABC39085ACB， ， PBC2/s点 从 出发，沿 方向也以 的速度移动，若 分别从 出发，经过多少时间Q1/sQ， ，与 相似？PQP CBA【答案】 ，设 ，39085ACCB， ， 5k
12、AB， ，22A即 ，解得 （负值已舍去）(3)(5)kk 6设经过 后 与 相似此时stPQCBA282BPtCtQt， ，本题需分两种情况：（1）当 时，毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 9 of 21，即 ，解得CQPAB826tt2.4t（2）当 时，即 ，解得 8tt31t综上，当 秒或 秒时， 与 相似2.4t31CPQBA【例 14】如图，在矩形 中， ，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，ABD26， AB2/点 沿 边以 秒的速度从点 开始移动，如果 同时出发，用 （秒）表示移动的时间Q/ PQ， t(06)t （1）当 为何值时， 为等
13、腰直角三角形？QP（2）求四边形 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论AC（3）当 为何值时，以点 为顶点的三角形与 相似t， ， ABCQPD CBA【答案】 （1）当 为等腰直角三角形时， ，QAPAPQ ，26t2t（2） ，即四边形 的面积为定值11(6)263QACPPSStt四 边 形 QC（3）分 2 种情况当 时， ，即 ，解得 B BAtt 当 时， ，即 ，解得 A 2PC62t65综上当 或 时，以点 为顶点的三角形与 相似3t65Q， ， ABC中考满分必做题【例 1】 如图，已知在等腰ABC 中，AB30，过点 C 作 CDAC 交 AB 于点 D若过 A，D，C三
14、点的圆 的半径为 ，则线段 BC 上是否存在一点 P，使得以 P，D，B 为顶点的三角形与O3BCO 相似，若存在，则 DP 的长为 _BACDBACDOP1P2毕业班解决方案 初三数学.相似三角形综合应用.教师版 Page 10 of 21（09 年浙江丽江中考试题）【解析】BCD ACBACD1209030 BCDB ，DBDC又 在 RtACD 中，DCADsin30 ，DB 过点 D 作 DP1OC，交 BC 于点 P1，则P 1DBCOB，33 OBODDB DP1 OC 过点 D 作 DP2AB，OCDP1B2O322交 BC 于点 P2，则BDP 2BCO， BC 3CP2BOC
15、 )(DP2 OC 1B3【例 2】 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 P 是线段 OA 上的一个动点（不与O，A 重合） ，过点 P 作 PQx 轴于 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN连接 AN 并延长交 x 轴于点 B，连接 ON设 OQt ，BMN 与MON 相似时，则 BMN 的面积为_BMQOP NAyxBMQOP NAyxH图 2（09 年甘肃中考试题）【答案】 或9125【解析】当 0 t 1 时，如图 1若BMN MON，则 即 ，t NMBOt232NM ，BM S BMN BMNM 当 1 t 2 时，如图32t32121392若BMNMON，则 即 ，t NM ，BM NMBOt 25656t253S BMN BMNM 212153629【例 3】 如图，ACB90，CD 是ACB 的平分线，点 P 在 CD 上，CP 将三角板的直角顶点放置2在点 P 处，绕着点 P 旋转，三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E，另一条直角边与直线 CA、直线 CB 分别交于点 F、点 G
