1、 高等数学公式导数公式：基本积分表：axaxxln1)(logcots)(canesot)(an2 221)cot(arn1)(cosarinxxxCaxaxdCshcxadCxxddxCxx )ln(lncscotseaneotsi anecco2222CaxxadaxaxdCxxdCrcsinl21lnrct1oslncstaecesilotoa22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)l(221cossi2 22 22020三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， 和差角公式： 和差化积公式：倍角公式：半角公式： co
2、s1insico12cots1insicoc12tan sssi 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iinsi Cab22反三角函数性质： xrcxxx tnarctnarcosrci 2sini2cosco2sin2sincoicot1t)cot(an1ansicos)cs(ii 233tan13tancos4cosiii22 222tan1tacotc sicosin1sscini高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯
3、西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ，
4、 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(112 级数审敛法： 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUul
5、im;31li21lim211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnnuun
6、 幂级数： 01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时 即 为 麦
7、 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx nmmm 欧拉公式： 2sincosincoixiixiix exe 或微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以
8、 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程： )1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如
9、果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相
10、等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm线 性 代 数 公 式 大 全 最 新 修 订1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列
11、式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D(1)21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；90 2()2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；D445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()
12、nknESkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；AnR是 中某两组基的过渡矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 1*111*()()()TTA A *11TBBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可
13、求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：12sA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11OB、 ；（副对角分块）1A、 ；（拉普拉斯）11CCBOB、 ；（拉普拉斯）111AOA3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mnA rmnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 、 ，若 ；B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在
14、列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1A 1(,),)cBEA、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；(,)Eij1(,)(,)ijEij1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()ik1()()iki1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()Eijk1()()ijEijk1(0)k5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA、 ；（）ax(),(,AB
