1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一 （2012 江西南昌 12 分）已知，纸片O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作（1）折叠后的 AB所在圆的圆心为 O时，求 OA 的长度；如图 2，当折叠后的 经过圆心为 O 时，求 B的长度；如图 3，当弦 AB=2 时，求圆心 O 到弦 AB 的距离；（2）在图 1 中，再将纸片O 沿弦 CD 折叠操作如图 4，当 ABCD，折叠后的 AB与 CD所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 ABCD 的距离之和为
2、 d，求 d 的值；如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的 与 A所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点，试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论【答案】解：（1）折叠后的 AB所在圆 O与O 是等圆，OA=OA=2。当 经过圆 O 时，折叠后的 B所在圆 O在O 上，如图 2 所示，连接 OAOA O B，OB ，OO 。OOA ，OOB 为等边三角形，AO B=AOO + BOO=60+60=120。 的长度 120483。如图 3 所示，连接 OA，OB，OA= OB=AB=2，AOB 为等边三角形。过点 O 作 OEAB 于点 E，
3、OE=OAsin60= 3。（2）如图 4，当折叠后的 AB与 CD所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EF AB 交 AB 于点 H、交 AE于点 E，交 CD 于点 G、交ACFD于点 F，即点 E、H、P 、O 、G 、F 在直径 EF 上。ABCD，EF 垂直平分 AB 和 CD。根据垂径定理及折叠，可知 PH= 12PE，PG = PF。又EF=4，点 O 到 ABCD 的距离之和 d 为：d=PH+PG= 12PE+ PF= （ PE+PF）=2 。如图 5，当 AB 与 CD 不平行时，四边形是 OMPN 平行四边形。证明如下：设 O， O为 APB和 CD所在圆的圆心，点 O
4、与点 O 关于 AB 对称，点 O于点 O 关于 CD 对称，点 M 为的 OO中点，点 N 为 OO的中点。折叠后的 AP与 所在圆外切，连心线 OO必过切点 P。折叠后的 B与 CD所在圆与O 是等圆，O P=OP=2， PM= 12OO=ON，PN= 12OO=OM，四边形 OMPN 是平行四边形。【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。【分析】 （1）折叠后的 AB所在圆 O与O 是等圆，可得 OA 的长度。如图 2，过点 O 作 OEAB 交O 于点 E，连接 OA OBAE、BE，可
5、得OAE、OBE 为等边三角形，从而得到 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。如图 3，连接 OAO B，过点 O作 OEAB 于点 E，可得AOB 为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求 AB所在圆的圆心 O到弦 AB 的距离。（2）如图 4， E与 CFD所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EFAB 交 AE于于点 E，交 ACFD于点 F，根据垂径定理及折叠，可求点 O 到 ABCD 的距离之和。由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。变式一 如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦 BC 折叠后，劣弧 BC 与 AB 交于点 D，得到
6、ABC（1）若 ，求证： 必经过圆心 O；BD CD AB（2）若 AB8， 2 ，求 BC 的长BD CD 变式二 如图，ABC 内接于O，ADBC ，OE BC，OE= BC12（1）求BAC 的度数；（2）将ACD 沿 AC 折叠为ACF，将ABD 沿 AB 折叠为ABG，延长 FC 和 GB 相交于点 H；求证：四边形AFHG 是正方形；（3）若 BD=6，CD=4 ，求 AD 的长题型二：圆中的旋转问题例题二 (2011 湖南常德,25.10 分)已知ABC，分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 ，P 是 AB 的中点。12O、（1）如图 8，若ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，
7、在 上分别取点 E、F，使 ，则有结论A CB、 12ABF.四边形 是菱形。请给出结论的证明；2POEF12POC（2）如图 9，若（1）中ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图 10，若 PC 是 的切线，求1证： 223ABCODCA B（1）BC 是O2 直径，则 O2 是 BC 的中点又 P 是 AB 的中点 ，P O2 是ABC 的中位线P O2 AC12又 AC 是O1 直径P O2 O1C AC12同理 P O1 O2C BCAC BC P O2 O1CP O1 O2C 四边形 是菱形12POC（2）结论PO1EPO2F
8、 成立，结论不成立证明：在（1）中已证 PO2 AC，又 O1E AC1212PO2O1E 同理可得 PO1O2FPO2 是ABC 的中位线 PO2AC PO2BACB同理P O1AACB PO2BP O1A AO1E BO2F P O1A+AO1E PO2B+BO2F即P O1E F O2 P、 EO1PPO2F；（3）延长 AC 交O2 于点 D，连接 BDBC 是O2 的直径，则D90，又 PC 是O1 的切线，则ACP90，ACPD又PACBADAPCBAD又 P 是 AB 的中点12ACDBACCD在 RtBCD 中， 222CDBAD在 RtABD 中， A 222243BC 3C
9、评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过 SSS，SAS，ASA，或 AAS 来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换变式一 阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图（十三） ，已知正四边形 ABCD 的外接圆O ，O 的面积为 S ， 正四边形 ABCD 的面积为 S ，以圆心 O 为1 2顶点作MON，使MON=90，将MON 绕点 O 旋转，O
10、M 、 ON 分别与O 相交于点 E、 F，分别与正四边形ABCD 的边相交于点 G、 H。设 OE、 OF、 及正四边形 ABCD 的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为 SAEF（1）当 OM 经过点 A 时（如图） ，则 S、 S 、 S 之间的关系为：S （用含 S 、 S 的代数式表示） ；12 12（2）当 OM AB 时（如图） ，点 G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。（3）当 MON 旋转到任意位置时（如图 ， ）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由【答案】解：（1） 124S（2）成立。理由：连 OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面积
11、（3）成立。过点 O 分别作 AB、 BC 的垂线交 AB、 BC 于点 P、 Q，交圆于点 X、 Y，可证直角三角形 OPG 全等于直角三角形 OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积变式二 （2012 杭州）如图，AE 切O 于点 E，AT 交O 于点 M，N，线段 OE 交 AT 于点 C，OBAT 于点 B，已知EAT=30， AE=3 ，MN=2 （1）求COB 的度数；（2）求O 的半径 R；（3）点 F 在O 上（ 是劣弧） ，且 EF=5，把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中
12、找出另一个顶点在O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC 的周长之比考点： 切线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。专题： 计算题。分析： （1）由 AE 与圆 O 相切，根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直，又 OB 与 AT 垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 AEC 与三角形 OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A 相等，由A 的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形 AEC 中，由 AE 及 tanA 的值，利
13、用锐角三角函数定义求出 CE 的长，再由 OB 垂直于MN，由垂径定理得到 B 为 MN 的中点，根据 MN 的长求出 MB 的长，在直角三角形 OBM 中，由半径OM=R，及 MB 的长，利用勾股定理表示出 OB 的长，在直角三角形 OBC 中，由表示出 OB 及 cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出 OC，用 OEOC=EC 列出关于 R 的方程，求出方程的解得到半径 R 的值；（3）把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有 6 个，如图所示，每小图 2 个，顶点在圆上的三角形，延长 EO 与圆交于点 D，连接 D
14、F，由第二问求出半径，的长直径 ED 的长，根据 ED 为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形 EFD 为直角三角形，由FDE 为 30，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，表示出三角形 EFD 的周长，再由第二问求出的三角形 OBC 的三边表示出三角形 BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比解答： 解：（1）AE 切O 于点 E，AECE，又 OBAT，AEC=CBO=90，又BCO= ACE，AECOBC，又A=30，COB=A=30；（2）AE=3 ，A=30 ，在 RtAEC 中， tanA=tan30= ，即 EC=AEtan30=3，OBMN，B 为 MN 的中点，又
15、 MN=2 ，MB= MN= ，连接 OM，在MOB 中，OM=R，MB= ，OB= = ，在COB 中，BOC=30，cosBOC=cos30= = ，BO= OC，OC= OB= ，又 OC+EC=OM=R，R= +3，整理得：R 2+18R115=0，即（R+23） （R 5）=0 ，解得：R=23（舍去）或 R=5，则 R=5；（3）在 EF 同一侧，COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有 6 个，如图，每小图 2 个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长 EO 交圆 O 于点 D，连接 DF，如图所示，EF=5，直径 ED=10，可得出FDE=30 ，FD=5 ，则 CEF
16、D=5+10+5 =15+5 ，由（2）可得 CCOB=3+ ，CEFD：C COB=（15+5 ）：（3+ ）=5：1点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含 30直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键题型三：圆中的动点例题三 （2012 江苏南京 10 分）如图，A、B 为O 上的两个定点，P 是O 上的动点（P 不与 A、B 重合） ，我们称APB 为O 上关于 A、B 的滑动角。（1）已知APB 是 上关于点 A、B 的滑动角。 若 AB 为O 的直径，则 APB= 若O 半径为 1，AB= 2，求
17、APB 的度数（2）已知 2为 A外一点，以 O为圆心作一个圆与 1OA相交于 A、B 两点，APB 为 1OA上关于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交 2于点 M、N （点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合） ，连接 AN，试探索APB 与MAN、ANB 之间的数量关系。【答案】解：（1）90 0。如图，连接 AB、OA 、OB在AOB 中，OA =OB=1AB= 2，OA 2+OB2=AB2。AOB=90。当点 P 在优弧 AB 上时（如图 1） ，APB= AOB=45；当点 P 在劣弧 AB 上时（如图 2） ，APB= 12（360AOB）=135。（2）根据点
18、P 在O 1 上的位置分为以下四种情况第一种情况：点 P 在O 2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点N 之间，如图 3，MAN= APB +ANB，APB =MAN -ANB。第二种情况：点 P 在O 2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图 4，MAN= APB +ANP=APB+（180ANB ） ，APB =MAN +ANB180。第三种情况：点 P 在O 2 外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点N 之间，如图 5，APB +ANB +MAN=180，APB =180MANANB。第四种情况
19、：点 P 在O 2 内，如图 6，APB=MAN +ANB。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】 （1）根据直径所对的圆周角等于 90即可得APB=90 0。根据勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分点 P 在优弧 AB上；点 P 在劣弧 AB上两种情况讨论即可。（2）根据点 P 在O 1 上的位置分为四种情况得到 APB 与MAN、ANB 之间的数量关系。变式一 如图 12-1 所示，在 中， ， ， 为 的中点，动点 在 边上自由移动，ABC 290A OCEA动点 在 边上自由移动FAC（1）点 的移动过程中， 是否能成为 的等腰三角形？若能，请指出
20、为等腰三角形E， EF 45EF OF时动点 的位置若不能，请说明理由，（2）当 时，设 ， ，求 与 之间的函数解析式，写出 的取值范围45O BxCyxx（3）在满足（2）中的条件时，若以 为圆心的圆与 相切（如图 12-2） ，试探究直线 与 的位置关系，并证OABEA明你的结论解：如图，（1）点 移动的过程中， 能成为 的等腰三角形此时点 的位置分别是：EF， OEF 45EF， 是 的中点， 与 重合BA 与 重合， 是 的中点2CAC（2）在 和 中， ， ，O 13B135EOB又 ， FE F CF， ， ， Bx y212()yx 图 12-1ABCOEF图 12-2BCOE
21、FAE FO CB AE FO CB（图 121） （图 122）（3） 与 相切 ， 即 EFOAEBFOC BEF OE BF又 ， 点 到 和 的距离相等45B A与 相切， 点 到 的距离等于 的半径 与 相切 A A变式二 如图，在O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，AC= AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重12合） ，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点（1）如图 1，求证：PCDABC；（2）当点 P 运动到什么位置时，PCDABC？请在图 2 中画出PCD 并说明理由；（3）如图 3，当点 P 运动到 CPAB 时，
22、求BCD 的度数【课后练习】1、 （2012 湘潭） 如图，在O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，AC=AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与A、B 两点重合） ，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点（1）如图 1，求证：PCDABC；（2）当点 P 运动到什么位置时，PCDABC？请在图 2 中画出PCD 并说明理由；（3）如图 3，当点 P 运动到 CPAB 时，求BCD 的度数考点： 圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。专题： 几何综合题。分析： （1）由 AB 是 O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得 ACB=90
23、，又由 PDCD，可得D=ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得 A=P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：PCDABC；（2）由PCDABC，可知当 PC=AB 时， PCDABC，利用相似比等于 1 的相似三角形全等即可求得；（3）由ACB=90 ，AC=AB，可求得ABC 的度数，然后利用相似，即可得 PCD 的度数，又由垂径定理，求得 = ，然后利用圆周角定理求得ACP 的度数，继而求得答案解答： （1）证明：AB 是O 的直径， ACB=90，PDCD，D=90 ，D= ACB，A 与P 是 对的圆周角，A=P ， PCDABC；（2）解：当 PC 是
24、O 的直径时，PCDABC，理由：AB ，PC 是 O 的半径，AB=PC，PCDABC，PCDABC；（3）解：ACB=90，AC=AB，ABC=30，PCDABC，PCD=ABC=30，CPAB，AB 是O 的直径， = ，ACP=ABC=30，BCD=ACACPPCD=903030=30点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用2、如图，已知射线 DE 与 x 轴和 轴分别交于点 D（3，0）和点 E（0，4） ，动点 C 从点 M（5，0）出发，以 1 个单位y长度/秒
25、的速度沿 x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动设运动时间为 t 秒（1）请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标；（2）以点 C 为圆心、 t 个单位长度为半径的C 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，连接 PA、PB21 当C 与射线 DE 有公共点时，求 t 的取值范围； 当PAB 为等腰三角形时，求 t 的值3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB12cm，AD 8cm，BC22cm，AB 为O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t(s)（1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，PQ 与O 相切？AD C MBPEyxOPA DOB CQ
