1、第 18 章 平行四边形 专项训练专训 1：平行四边形的性质1、(2014 宁夏)在平行四边形 ABCD 中，将 ABC 沿 AC 对折，使点 B 落在 B处， AB和 CD相交于点 O求证： OA OC2、(2015南通中考)如图，在 ABCD 中，点 E， F 分别在 AB， DC 上，且 ED DB， FB BD. (1)求证： AED CFB. (2)若 A=30， DEB=45，求证： DA=DF.专训 1.判定平行四边形的五种常用方法名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件 ，选择恰当的方法，从而简化解题过程1如图，在AB
2、CD 中，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 BFDE，连接 AF，CE，BE，DF，AF与 BE 相交于 M 点，DF 与 CE 相交于 N 点求证：四边形 FMEN 为平行四边形2如图，已知ABD，BCE，ACF 都是等边三角形求证：四边形 ADEF 是平行四边形3已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E，F 为对角线 AC 上两点，且AECF，DFBE.求证：四边形 ABCD 为平行四边形4如图，在ABCD 中，BE 平分ABC，交 AD 于点 E，DF 平分ADC，交 BC 于点 F，那么四边形 BFDE 是平行四边形吗？请说明理由5如图，ABCD 中，点 O 是对角线 A
3、C 的中点，EF 过点 O，与 AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点 O，与 AB，CD 分别相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形；(2)如图，若 EFAB，GHBC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形 AGHD 面积相等的所有平行四边形(四边形 AGHD 除外)6、（2015 遂宁）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E，F 在对角线 BD 上，且 BE=DF，求证： （1）AE=CF； （2）四边形 AECF 是平行四边形 7、如图，以ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形，即 ABD、BCE、AC
4、F，请回答下列问题，并说明理由（ 1）四边形 ADEF 是什么四边形；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形；（3）当 ABC 满足什么条件时，以 A，D，E ，F 为顶点的四边形不存在8、如图，在ABCD 中，E，F，G，H 分别是四条边上的点，且满足 BEDF，CGAH，连接 EF，GH求证：EF 与 GH 互相平分专训 2.构造中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点， 作出三角形的中位线连接两点构造三角形的
5、中位线1、如图，四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是 AB、 CD、 AC、 BD 的中点，那么四边形 GEHF是平行四边形，为什么？2、如图，四边形 ABCD 中， E、 F、 M、 N 分别为 AB、 CD、 BD、 AC 的中点，求证：四边形 EMFN为平行四边形 3、已知：如图，四边形 ABCD 四条边上的中点分别为 E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形 EFGH（即四边形 ABCD 的中点四边形）（1）四边形 EFGH 的形状是_，证明你的结论；（2）当四边形 ABCD 的对角线满足_条件时，四边形 EFGH 是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形
6、的中点四边形是矩形？_4、如图，点 B 为 AC 上一点，分别以 AB，BC 为边在 AC 同侧作等边三角形 ABD 和等边三角形BCE，点 P，M，N 分别为 AC，AD，CE 的中点(1)求证：PMPN；(2)求MPN 的度数5、（2015 广州）如图，四边形 ABCD 中，A=90，AB=3 ，AD=3，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点 B 重合），点 E，F 分别为 DM，MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 利用角平分线垂直构造中位线6如图，在ABC 中，点 M 为 BC 的中点，AD 为ABC 的外角平分线，且 ADBD，若AB12，AC18
7、，求 DM 的长7如图，在ABC 中，已知 AB6，AC10，AD 平分BAC，BDAD 于点 D，点 E 为 BC 的中点，求 DE 的长倍长法构造三角形的中位线8如图，在ABC 中，ABC90，BABC，BEF 为等腰直角三角形，BEF90，M为 AF 的中点，求证：ME CF12已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线9.已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于 E、F求证：DEN=F10如图，在四边形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，若 AB10，CD8，求 MN 长度的取值范围11如图，在
8、ABC 中，C90，CACB，E，F 分别为 CA，CB 上一点，CECF，M，N分别为 AF，BE 的中点，求证：AE MN.2已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线12如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，点 P 是 AD 的中点，延长 BP 交 AC 于点 N，求证：AN AC.13答案专训 11证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DEBF，DE 綊 BF.四边形 BFDE 为平行四边形BEDF.同理，AFCE.四边形 FMEN 为平行四边形2证明：ABD，BCE，ACF 都是等边三角形，BABD，BCBE，DBAEBC60.EBCEBADBAEBA，ABCDBE.A
9、BCDBE.AFACDE.同理，可证ABCFEC，ADABEF.四边形 ADEF 是平行四边形3证明：ABCD，BAEDCF.BEDF，BEFDFE.AEBCFD.在AEB 和CFD 中，AEBCFD，ABCD.又ABCD，四边 ABCD 是平行四形 BAE DCF，AE CF， AEB CFD， )4解：四边形 BFDE 是平行四边形理由：在ABCD 中，ABCCDA，AC.BE 平分ABC，DF 平分ADC，ABECBE ABC，CDFADF ADC.ABECBECDFADF12 12.DFBCCDF，BEDABEA，DFBBED.四边形 BFDE 是平行四边形5(1)证明：四边形 ABC
10、D 是平行四边形，ADBC，OAOC，EAOFCO.在OAE 与OCF 中， OAEOCF，OEOF.同理 OGOH， EAO FCO，OA OC， AOE COF， )四边形 EGFH 是平行四边形(2)解：与四边形 AGHD 面积相等的平行四边形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH.专训 21(1)证明：如图，连接 CD，AE.由三角形中位线定理可得 PM 綊 CD，PN 綊 AE.12 12ABD 和BCE 是等边三角形，ABDB，BEBC，ABDCBE60，ABEDBC.ABEDBC，AEDC.PMPN.(2)解：如图，设 PM 交 AE 于 F，PN 交 CD 于 G，AE 交
11、CD 于 H.由(1)知ABEDBC，BAEBDC.AHDABD60，FHG120.易证四边形 PFHG 为平行四边形，MPN120. 2解：如图，延长 BD，CA 交于 N. 在AND 和ABD 中，ANDABD( ASA) NAD BAD，AD AD， ADN ADB 90， )DNDB，ANAB.DM NC (ANAC) (ABAC)15.12 12 123解：如图，延长 BD 交 AC 于点 F，AD 平分BAC，BADCAD.BDAD，ADBADF，又ADAD，ADBADF( ASA)AFAB6，BDFD.AC10，CFACAF1064.E 为 BC 的中点，DE 是BCF 的中位线
12、DE CF 42.12 124证明：如图，延长 FE 至 N，使 ENEF，连接 BN，AN.易得ME AN.12EFEN，BEF90，BE 垂直平分 FN.BFBN.BNFBFN.BEF 为等腰直角三角形，BEF90，BFN45.BNF45，FBN90，即FBAABN90.又FBACBF90，CBFABN.在BCF 和BAN 中， BF BN， CBF ABN，BC BA， )BCFBAN.CFAN.ME AN CF. 12 125解：如图，取 BD 的中点 P，连接 PM，PN.M 是 AD 的中点，P 是 BD 的中点，PM 是ABD 的中位线，PM AB5.同理可得 PN CD4.在P
13、MN 中，12 12PMPNMNPMPN，1MN9.6证明：如图，取 AB 的中点 H，连接 MH，NH，则 MH BF，NH12AE.12CECF，CACB，AEBF.MHNH.点 M，H，N 分别为AF，AB，BE 的中点，MHBF，NHAE.AHMABC，BHNBAC.MHN180(AHMBHN)180(ABCBAC)90.NH MN.AE2NH2 MN MN. 22 22 27证明：如图，取 NC 的中点 H，连接 DH，过点 H 作 HEAD，交 BN 的延长线于E.ABAC，ADBC，D 为 BC 的中点又H 为 NC 的中点，DHBN.又PDEH，四边形 PDHE 是平行四边形HEPD.又P 为 AD 的中点，APPD.APEH，易证APNHEN，ANNH.ANNHHC，AN AC.13
