1、圆和正多边形的有关计算(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2015凉山州期末)O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是 ( )A. 2 B.11 C.13 2D. 2 3【解析】选A.如图所示,连接CO,过点O作OECD于点E,四边形AMNB是O的外切正方形,O切AB于点C,CFD是O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO= ,OCE=30,CE= cos30= ,a2 a2 34O的内接正三角形的边长为2EC= , a= 2.32 32 32.(2015广州越秀区期末)如图,AB与O相切于点B,OA=2,OAB=30,弦BCOA,则劣弧 的弧长是 ( )B
2、A. B. C. D. 2 3 4 6【解析】选B.连接OB,OC,AB为O的切线,ABO=90,在RtABO中,OA=2,OAB=30,OB=1,AOB=60,BCOA,OBC=AOB=60,又OB=OC,BOC为等边三角形,BOC=60,则劣弧 的长为 = .B 60118033.如图,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,则 的长为 A( )A. B. C. D. 5 25 35 45【解析】选D.如图所示,O为正五边形ABCDE 的外接圆,O的半径为2,AOB= =72,3605 的长为: = .A 72218045【知识拓展】正n边形的有关计算(1)边长:a n=2Rnsin
3、 .180(2)周长:P n=nan.(3)边心距:r n=Rncos .180(4)面积:S n= anrnn.12(5)每一个内角的度数为 .(2)180(6)每一个外角的度数为 .360(7)中心角的度数为 .3604.如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为 ( )A.a B.2a C. a D.3a12【解析】选A.四边形ABCD是正方形,B=D=90.则扇形ABC的弧长为l= = a,9018012同理可求扇形ADC的弧长为 a,12树叶形图案的周长为 a2=a.12【一题多解】选A.由题意知树叶形图案
4、的周长为以a为半径的圆周长的一半,树叶形图案的周长为 2a=a.12【互动探究】若求阴影部分的面积呢?提示: S阴影 =2 = a2.(902360122) 22二、填空题(每小题4分,共12分)5.如图所示,正六边形ABCDEF内接于O,若O的半径为4,则阴影部分的面积等于_.【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形,阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积,即为圆面积的 .阴影部分13的面积为 = .423 163答案: 163如图,在扇形OAB中,AOB=90,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在 上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周A长和
5、面积.【解析】连接OD, 将扇形 OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在A上点D处,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OBD是等边三角形,C阴影部分 = +AC+CD+BD=3+12.906180OBD是等边三角形,DBC=OBC=30.在RtOCB中,tanOBC= = ,OO6OC=tan306=2 .3S阴影 =S扇形OAB -2SOCB= -2 =9-12 .9062360 6232 36.如图,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30,把ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_cm 2.【
6、解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积=扇形BAA与扇形BCC 的面积差,为 (42-15036022)=5(cm2).答案:57.(2015密云期末)如图,边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时,D点的坐标是_,D点经过的路径的总长度是_;当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是_.【解析】如图,正方形ABCD每滚动4次为一个周期,当点D第一次落在x轴上时 ,正方形ABCD滚动2次,D点的坐标是(3,0);D点经过的路径
7、的总长度是 +90 2180 901180= .2+12每一个周期中D点经过的路径的总长度是+ 2= ,90 2180 901180 ( 22+1)当点D第2014次落在x 轴上时,D点经过的路径的总长度是:2013 + = .(22+1) 2+12 (1 0072+4 0272 )答案: (3,0) 2+12 (1 0072+4 0272 )三、解答题(共22分)8.(6分)(2015官渡期末)如图,已知O的半径为8cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切O于点C, 的长为 .求AOC的度数和线B 83段AC的长.【解析】设AOC=n; = ,解得:n=60,n818083AOC=60.
8、AC切 O于点C,ACO=90,A=90-AOC=30,AO=2OC=16,AC= = =8 .A22 16282 39.(7分)(2015南昌期末)如图,边长为4cm的等边ABC与O等高(即高与直径相等),O与BC相切于点C,O与AC相交于点E.求:(1)CE的长.(2)阴影部分的面积.【解析】(1)连接OC,并过点O作OFCE于F,且ABC为等边三角形,边长为4,故高为2 ,即OC= ,3 3又ACB=60,O与BC相切,OCBC,故有OCF=30,在RtOFC中, 可得OF= ,FC= ,即CE=3.32 32(2)连接OE,S 阴影 =S扇形 OCE-SOCE= - 3 =- .120
9、( 3)2360 12 32 334【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式(1)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半(R= ).c2(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半(r=).a+2(3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积,即 a12b= ch.1210.(9分)(2015龙岩期末)如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O,交BC于点D,交AC于点F,过点D作DEAC,垂足为E.(1)求证: = .BD(2)求证:DE为O的切线.(3)若CE=2,BAC=60,求由DC,CF与 所围成图形的面积S.D【解析】(1)连接AD.AB 为O的直径,ADB=90,即ADBC.AB=AC,CAD=BAD, = ,BD(2)连接OD.AB为O的直径,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位线,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半径,DE为O的切线.(3)连接OF.AB=AC,OF=OA,BAC=60,ABC,AFO都是等边三角形.AFO=C=60.OFCD.ODAC,四边形DCFO是平行四边形.OD=OF,四边形DCFO 是菱形.C=FOD=60,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,
