1、三次数学危机的感想数学文化与思维作业学号：20115261 姓名：刘奇 学院：计算机 年级：2011无理数的确认第一次数学危机第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。 什么是无穷第二次数学危机伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机
2、。以求速度为例，瞬时速度是当趋近于零时的值。是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。 “无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里， “实践是检验真理的唯一标准。 ”19 世纪 70 年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基
3、础上，建立起极限论的基本定理。“-”语言给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语。虽然所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。这样就使数学分析建立在了实数理论的严格基础之上。罗素悖论的责难第三次数学危机这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。数学家们发现，从自然数与集合论出发似乎可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。而罗素悖论使整个数学大厦动摇了。其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。但是，由于这那些悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同，它非常浅显易懂，而且所涉及的
4、只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。承认无穷集合，承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。关于三次数学危机的感想三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列
5、的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的 19 世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。 第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓” 、恶性循环的错误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。从另一方面，数学的历史发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
