三角形五心及其性质.doc

1、1三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。三角形垂心的性质设ABC 的三条高为 AD、BE、CF，其中 D、E、F 为垂足，垂心为 H，角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的 垂心； 3、 垂心 H 关于三 边的对称点，均在 ABC 的外接圆上。 4、 ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且 AHHD=BHHE=CHHF。 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点

2、的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 6、 ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆。 7、 在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于P、Q，则 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一顶 点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2倍。 29、 设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，

3、以垂足三角形的周长最短。 12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、 设锐角ABC 内有一点 T，那么 T 是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 垂心的向径定义设点 H 为锐角三角形 ABC 的垂心，向量 OH=h，向量 OA=a，向量 OB=b，向量 OC=c， 则 h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐标的解析解： 设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3 ，b3)，那么垂心坐标x=x/

4、2/，y=-y/2/。 其中， =det(x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2); x=det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2); 3y=det(x3-x2，(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1，(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3); 垂心的向量特征：三角形 ABC 内一点 O，向量OAOB=OBOC=OCOA，则点 O 是三角形的垂心 证明由 OAOB=OBOC，得 OAOB-OCOB=0 (OA-OC)OB=0 CAOB=0，即 O

5、B 垂直于 AC 边 同理由 OBOC=OCOA，可得 OC 垂直于 AB 边 由 OAOB=OCOA，得 OA 垂直于 BC 边 显然点 O 是三角形的垂心三 角 形 的 重 心重 心 是 三 角 形 三 边 中 线 的 交 点 ，三 线 交 一 点 可 用 燕 尾 定 理 证明 ，十 分 简 单 。证 明 过 程 又 是 塞 瓦 定 理 的 特 例 。 4三 角 形 重 心已 知 ：ABC 中 ，D 为 BC 中 点 ，E 为 AC 中 点 ，AD 与 BE 交 于O，CO 延 长 线 交 AB 于 F。求 证 ：F 为 AB 中 点 。 证 明 ：根 据 燕 尾 定 理 ，SAOB=SA

6、OC，又 SAOB=SBOC，SAOC=SBOC，再 应 用 燕 尾 定 理 即 得 AF=BF，命 题 得证 。 重 心 的 几 条 性 质 ： 1.重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 2：1。 2.重 心 和 三 角 形 3 个 顶 点 组 成 的 3 个 三 角 形 面 积 相 等 。 3.重 心 到 三 角 形 3 个 顶 点 距 离 的 平 方 和 最 小 。 4.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 ，即 其 坐 标 为 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3

7、)；空 间 直 角 坐 标 系 横 坐 标 ：(X1+X2+X3)/3 纵 坐 标 ：(Y1+Y2+Y3)/3 竖 坐 标 ：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重 心 和 三 角 形 3 个 顶 点 的 连 线 的 任 意 一 条 连 线 将 三 角 形 面积 平 分 。 证 明 ：刚 才 证 明 三 线 交 一 时 已 证 。 6.重 心 是 三 角 形 内 到 三 边 距 离 之 积 最 大 的 点 。 其 它 规 则 图 形 的 重 心注 ：下 面 的 几 何 体 都 是 均 匀 的 ，线 段 指 细 棒 ，平 面 图 形 指 薄 板 。5三 角 形 的 重 心 就 是 三 边 中 线 的

8、交 点 。 线 段 的 重 心 就 是 线 段 的中 点 。 平 行 四 边 形 的 重 心 就 是 其 两 条 对 角 线 的 交 点 ，也 是 两 对 对 边中 点 连 线 的 交 点 。 平 行 六 面 体 的 重 心 就 是 其 四 条 对 角 线 的 交 点 ，也 是 六 对 对 棱中 点 连 线 的 交 点 ，也 是 四 对 对 面 重 心 连 线 的 交 点 。 圆 的 重 心 就 是 圆 心 ，球 的 重 心 就 是 球 心 。 锥 体 的 重 心 是 顶 点 与 底 面 重 心 连 线 的 四 等 分 点 上 最 接 近 底 面的 一 个 。 四 面 体 的 重 心 同 时

9、也 是 每 个 定 点 与 对 面 重 心 连 线 的 交 点 ，也是 每 条 棱 与 对 棱 中 点 确 定 平 面 的 交 点 。三 角 形 的 旁 切 圆 （与 三 角 形 的 一 边 和 其 他 两 边 的 延 长 线 相 切 的 圆 ）的 圆 心 叫 做 旁 心 。旁 心 是 一 个 三 角 形 内 角 平 分 线 与 其 不 相 邻 的 两个 外 角 平 分 线 的 交 点 ，它 到 三 角 形 三 边 的 距 离 相 等 。如 图 ，点 M就 是 ABC 的 一 个 旁 心 。三 角 形 任 意 两 角 的 外 角 平 分 线 和 第 三 个6角 的 内 角 平 分 线 的 交

10、点 。一 个 三 角 形 有 三 个 旁 心 ，而 且 一 定 在 三角 形 外 。 若 设 O 为 ABC 的 旁 心 ,用 向 量 表 示 则 有 aOA=bOB+cOC 1、三 角 形 一 内 角 平 分 线 和 另 外 两 顶 点 处 的 外 角 平 分 线 交 于 一点 ，该 点 即 为 三 角 形 的 旁 心 。 2、每 个 三 角 形 都 有 三 个 旁 心 。内 心 是 三 角 形 三 条 内 角 平 分 线 的 交 点 ，即 内 切 圆 的 圆 心 。内 心 是 三 角 形 角 平 分 线 交 点 的 原 理 ：经 圆 外 一 点 作 圆 的 两 条 切线 ，这 一 点 与

11、圆 心 的 连 线 平 分 两 条 切 线 的 夹 角 （原 理 ：角 平 分 线 上点 到 角 两 边 距 离 相 等 ）。 内 心 定 理 ：三 角 形 的 三 个 内 角 的 角 平 分 线 交 于 一 点 。该 点 叫 做 三角 形 的 内 心 。 7注 意 到 内 心 到 三 边 距 离 相 等 （为 内 切 圆 半 径 ），内 心 定 理 其 实极 易 证 。 若 三 边 分 别 为 l1，l2，l3，周 长 为 p，则 内 心 的 重 心 坐 标 为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直 角 三 角 形 的 内 心 到 边 的 距 离 等 于 两 直 角 边 的 和 减 去 斜

12、边 的差 的 二 分 之 一 。 双 曲 线 上 任 一 支 上 一 点 与 两 焦 点 组 成 的 三 角 形 的 内 心 在 实 轴的 射 影 为 对 应 支 的 顶 点 。 三 角 形 内 心 的 性 质 设 ABC 的 内 切 圆 为 O(半 径 r)，角A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c，p=(a+b+c)/2。 1、三 角 形 的 三 条 角 平 分 线 交 于 一 点 ，该 点 即 为 三 角 形 的 内 心 。2、三 角 形 的 内 心 到 三 边 的 距 离 相 等 ，都 等 于 内 切 圆 半 径 r。 3、r=S/p。 证 明 ：SABC=SOAB+SOAC+

13、SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即 得 结 论 。 ABC 中 ，C=90，r=(a+b-c)/2。 5、BOC=90+A/2。 6、点 O 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ，点 O 是 ABC 内 心 的 充 要条 件 是 ： a(向 量 OA)+b(向 量 OB)+c(向 量 OC)=向 量 0。 87、点 O 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ，点 I 是 ABC 内 心 的 充 要条 件 是 ： 向 量 OI=a(向 量 OA)+b(向 量 OB)+c(向 量 OC)/(a+b+c)。 8、 ABC 中 ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

14、那 么 ABC内 心 I 的 坐 标 是 ： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。 9、(欧 拉 定 理 ) ABC 中 ，R 和 r 分 别 为 外 接 圆 为 和 内 切 圆 的半 径 ，O 和 I 分 别 为 其 外 心 和 内 心 ，则 OI2=R2-2Rr。 10、（内 角 平 分 线 分 三 边 长 度 关 系 ） 角 平 分 线 分 对 边 与 该 角 的 两 边 成 比 例 。 证 明 ：ABC 中 ，AD 是 A 的 角 平 分 线 ，D 在 BC 上 ，abc 是

15、角的 对 边 ABC，d=AD。由 于 正 弦 定 理 b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC，R1 是 ABD 的 外 接 圆 半 径 ，R2 是 ACD 的外 接 圆 半 径 ，所 以 R1/R2=sinC/sinB=c/b.又 BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,CAD=BAD，所 以 BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 外 心 9三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 也 就 是 三 角 形 三 边 中 垂 线 的 交 点 ,三 角 形的 三 个 顶 点 就 在 这 个 外 接 圆 上 .

16、三 角 形 外 心 的 性 质设 ABC 的 外 接 圆 为 G(R)，角 A、B、C 的 对 边 分 别 为a、b、c，p=(a+b+c)/2 1：（1）锐 角 三 角 形 的 外 心 在 三 角 形 内 ； （2）直 角 三 角 形 的 外 心 在 斜 边 上 ，与 斜 边 中 点 重 合 ； （3）钝 角 三 角 形 的 外 心 在 三 角 形 外 . 2：BGC=2A，（或 BGC=2(180-A). 3：点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ，那 么 点 G 是 ABC 外 心 的 充 要条 件 是 ： (向 量 GA+向 量 GB)向 量 AB= (向 量 GB+向 量 GC)向

17、 量BC=(向 量 GC+向 量 GA)向 量 CA=向 量 0. 4：点 G 是 平 面 ABC 上 一 点 ，点 P 是 平 面 ABC 上 任 意 一 点 ，那 么 点 G 是 ABC 外 心 的 充 要 条 件 是 ： （1）向 量 PG=(tanB+tanC)向 量 PA+(tanC+tanA)向 量PB+(tanA+tanB)向 量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或 （2）向 量 PG=(cosA/2sinBsinC)向 量 PA+(cosB/2sinCsinA)向 量 PB+(cosC/2sinAsinB)向 量 PC. 5：三 角 形 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 的 交 于 一 点 ，该 点 即 为 三 角 形外 接 圆 的 圆 心 .外 心 到 三 顶 点 的 距 离 相 等 。 106：R=abc/4S ABC. 正 弦 定 理 ：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。