1、1数学基础知识与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直x线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时,其倾斜角为 ,故直线倾斜角 的范x 0围是 .0182.直线的斜率:倾斜角不是 的直线其倾斜角 的正切叫这条直线的斜率 ,即90k.tank注：每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.当 时，直线 垂直于 轴，它的斜率 k 不存在.90lx过两点 、 的直线斜率公式1(,)Pxy2(,)y12)21tanyx二、直线方程的五种形式及适用条件 名称 方程 说明 适用条件斜截式 y=kx+b k斜
2、率b纵截距 倾斜角为 90的直线不能用此式点斜式 y-y0=k(x-x0)(x0，y 0)直线上已知点，k 斜率倾斜角为 90的直线不能用此式两点式 =1212(x1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 + =1xayba直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 Ax+By+C=0(A、B 不全为零) A、B 不能同时为零2直线的方程注:确定直线方程需要有两个互相独立的条件 ,通常用待定系数法;确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程 A
3、x+By+C=0（A 2+B20）是一一对应的.直线的方程例 1. 过点 和 的直线的斜率等于 1, 则 的值为( ),2(aM)4,(Na(A) (B) (C)1 或 3 (D)1 或 41例 2. 若 , 则直线 2 cos 3y1=0 的倾斜角的取值范围（ ）6x(A) (B) (C) (0, ) (D) ,25,65,26例 4. 连接 和 两点的直线斜率为_,与 y 轴的交点 P 的坐标为_.(4,1)A2,)B例 5. 以点 为端点的线段的中垂线的方程是 .,53,和两直线的位置关系一、两直线的位置关系1. 两直线平行:斜率存在且不重合的两条直线l1 y=k1x+b1， l2 y=
4、k2x+b2，则 l1l 2 k1=k2;两条不重合直线 的倾斜角为 ,1,l则 .l22.两直线垂直:斜率存在的两条直线 l1 y=k1x+b1,l2 y=k2x+b2,则 l1l 2 k1k2= -1;两直线 l1 A1x+B1y+C1=0， l2 A2x+B2y+C2=0，则 l1l 2 A1A2+B1B2 = 03. “到角”与“夹角”:直线 到 的角（方向角） ；1l2直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向旋转1l到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 .2l (0,)注:当两直线的斜率 k1,k2 都存在且 k1k2-1 时,;当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.12tank
5、例 6. 将直线 0632yx绕着它与 轴的交点逆时针旋转 的45角后，在 轴上的截距是( )(A) (B) (C) (D) 54例 7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(2，4)重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则 m+n的值为( )(A)4 (B)4(C)10 (D) 10例 8. 与直线平行且过点:2350xy的直线 的方程是(1,4)A_。例 9. 已知二直线和08:1nymxl，若 ， 在221ly 轴上的截距为-1 ，则m=_，n=_.3两直线的位置关系两条相交直线 与 的夹角：1l2两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成的
6、四1l2个角中最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围1l2是 ,当两直线的斜率 k1，k 2 都存在且 k1k2-1 时，02则有 .21tank4.距离公式。已知一点 P(x0，y 0)及一条直线 l：A x+By+C=0，则点 P 到直线 l 的距离 d= ；2|ABC两平行直线 l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d=。12|C5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中，当（x 0，y 0）确定，k 变化时，该方程表
7、示过定点（ x0，y 0）的旋转直线系，当 k 确定，(x 0，y 0)变化时，该方程表示平行直线系.已知直线 l：Ax+B y+C=0，则方程 Ax+By+m=0（m 为参数）表示与 l 平行的直线系；方程-Bx+Ay +n=0（n 为参数）表示与 l 垂直的直线系。已知直线 l1：A 1x+B1y+C1=0，直线 l2：A 2x+B2y+C2=0，则方程 A1x+B1y+C1+(A 2x+B2y+C2)=0表示过 l1 与 l2 交点的直线系（不含 l2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.例 10. 经过两直线11x3y90 与12xy190 的交点，且过点(3,
8、 -2)的直线方程为_.例 11. 已知ABC 中，A（2，-1） ，B（4，3） ，C（3， -2） ，求：BC 边上的高所在直线方程；AB 边中垂线方程；A 平分线所在直线方程.例 12. 已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过 P 点的直线 l与 l1 交于第一象限 Q 点，与x 轴正半轴交于点 M，求使OQM 面积最小的直线 l 方程.简单的线性线性规划当点 P(x0，y 0)在直线 Ax+By+C=0 上时，其坐标满足方程 Ax0+By0+C=0；当 P 不在直线 Ax+By+C=0 上时，A x0+By0+C0，即 Ax0+By0+C0 或 Ax0+By0+C0（或0）,圆
9、心坐标为（- ，- ） ，半径为 r= .DE4FE圆的参数方程：(x -a)2+(y-b)2=r2（r0）的参数方程为: （ 为参数,表cosinxaryb示旋转角） ，参数式常用来表示圆周上的点。注: 确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.圆的直径式方程： ,其中 是圆的1212()()0xy12(,)(,)AxyBxy一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线：Ax +By+C=0，圆：
10、x 2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组一元二次方程20ByCDEF 消 元 24bac 判 别 式 0 相 交 相 切 相 离（2）几何法：直线:Ax +By+C=0，圆：( x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为 d= ，则2|AabBdr相 离相 切相 交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为 O1、O 2，半径分别为 r1，r 2，|O 1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O 1O2|r1+r2 两圆外离；|O 1O2|=r1+r2 两圆外切；| r 1-r2|0，m 0 x 0-10 201|42OMQSmx令 x0-1=t，则 t0, 40(1)()tSt当且仅当 t=1，x 0=11 时，等号成立,此时 Q（11，44 ） ，直线 l：x+y -10=0评注：例 13.B 例 14. 例 15. 例 16. 种蔬菜 20 亩,棉花 30 亩,水稻不种,总产值最高 27 万42元.例 17.解：设初中 x 个班，高中 y 个班，则 2030(1)852xy 设年利润为 s，则 x.6.1.15.046.0
