1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1(2008 全国卷理)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面1ABC1A内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ C ）ABCA B C D32321.解：C由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高1a13Ba（即点 到底面 的距离） ，故 与2221 6()33Oaa1A1AB底面 所成角的正弦值为 .AB1AOB另解：设 为空间向量的一组基底， 的两两间的夹角为1,C 1,BC06长度均为 ，平面 的法向量为 ,a13A1AB2116,3OABAB则 与底面 所成角的正弦值为 .1C123OA二、填空题：1(2008
2、全国卷理)等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角BCDEAB的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余CABD3MN， A， MN，弦值等于 61.答案： .设 ，作12COBE面 ，则 ， 为二面角 的平面角OHABHCAD，结合等边三角形3,cos1CB与正方形 可知此四棱锥为正四棱锥，则DE 3NMH,1(),22NMAE1()ABC12故 所成角的余弦值E， 6N另解：以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，O则点 ,(1,0)(,1)(,0)(,2)ABEzyHoBDECNAx1 题图（2）oDECNA1 题图（1）MABDCOQMABDCOPx yzMABDCOP,121
3、2(,),()MN则 ,331,32AEANEME故 所成角的余弦值 .E， 6三、解答题：1 （2008 安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的 菱形，OABCD, , , 为 的中点。4ABCO、2M（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。1方法一（综合法）（1） D ,为异面直线 与 所成的角（或其补角）MC ABD作 连接AP、P O M2,4 =，2D 1cos, 3PMDCP所以 与 所成角的大小为AB（） 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，、 O,连接 OP,过点 A 作 于点 Q，,PCOP、 QCD、 又
4、,、 线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离，2221324OD 2P，所以点 B 到平面 OCD 的距离为32PQ方法二(向量法)作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为ACD ,xy轴建立坐标系,0,1,0)(,),(,0),(,2)(01)22ABPOQENMABDCOP(1)设 与 所成的角为 ,ABMD2(1,0)(,1), cos,3A 与 所成角的大小为 BD(2) 22(0,),(,)OP设平面 OCD 的法向量为 ,则 nxyz0,nOPDA即 022xyz取 ,解得z(,4)n设点 B 到平面 OCD 的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值
5、,dOB(0,42)n, .(1,02)O 23n所以点 B 到平面 OCD 的距离为2 （2008 安徽理）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的菱形，OABCD, , , 为 的中点， 为 的中点。4ACO、2MNBC（）证明：直线 ；MN（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。2 方法一（综合法）（1）取 OB 中点 E，连接 ME，NECD、 A, 又 NONOCD M、（2） B,为异面直线 与 所成的角（或 M其补角）作 连接,APCD、P 2,4 =，2M NMAB DCOx yzNMABDCOP1cos,23DPMCMDP所以
6、与 所成角的大小为AB（3） 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作、 O,于点 Q，P,OCOPQCD、 又 ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离,、 ，2221324DDPAP，所以点 B 到平面 OCD 的距离为23OAPQ 23方法二(向量法)作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系CD,xyz,2220,(1,0)(),(,0),()(0,1)(,0)4ABPDOMN(1) 2,1,4MNO设平面 OCD 的法向量为 ,则()nxyznPDA即 202xyz取 ,解得2z(,4)n11(0,)MNAA OC
7、D、(2)设 与 所成的角为 ,B2(1,0)(1), 与 所成角的大小为cos,3AM AMD3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,dOB(0,42)n由 , 得 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为(1,02)O23n 33 （2008 北京文）如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC =2，ACB=90，AP=BP=AB，PC AC.（）求证：PCAB；（）求二面角 B-AP-C 的大小.3解法一：（）取 AB 中点 D，连结 PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB .PDCDD.AB平面 PCD.PC 平面 PCD，PCAB
8、.（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又 PCAC，PCBC.又ACB90，即 ACBC，且 ACPC=C，ABBP，BEAP.EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CEAP.BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角.在BCE 中，BCE=90,BC=2,BE = ，623ABsinBEC= .36EC二面角 B-AP-C 的大小为 aresin .解法二：（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又 PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面 ABC.AB 平面 ABC，PCAB.()如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.则 C（0，0，0） ，A（0，2， 0） ，
9、B （2，0，0）.设 P（0，0，t）,PB=AB2 ，t=2,P (0,0,2).取 AP 中点 E，连结 BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BE AP.BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角.E(0,1,1), ),1,2(),1,0(EBcosBEC = .36二面角 B-AP-C 的大小为 arccos .4 （2008 北京理）如图，在三棱锥 中， ， ，PABC290ACB， APBC（）求证： ；A（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离4解法一：（）取 中点 ，连结 BDPC，AP，C，平面 B平面 ，PDA（） ， ，CPB 又 ，B又 ，即 ，且 ，9
10、0ACP平面 A取 中点 连结 PE， P是 在平面 内的射影，C是二面角 的平面角BC在 中， ， ， ，E 902B36EAB6sin3二面角 的大小为 BAPC6arcsin3（）由（）知 平面 ，D平面 平面 过 作 ，垂足为 H平面 平面 ，ACBDPACBEPACBDPH平面 CHAPB的长即为点 到平面 的距离由（）知 ，又 ，且 ，CABCA平面 平面 ，D在 中， ， ，RtPC 1236PD 22CHA点 到平面 的距离为 AB3解法二：（） ， ，CPP 又 ，B，A平面 平面 ，CP（）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz则 (0)(20)()B， ， ， ，
11、， ， ， ，设 t， ，BA， t()P， ，取 中点 ，连结 EC， ，CB， 是二面角 的平面角BA， ， ，(01)， ， (01)， ， (21)E， ，3cos6ECB二面角 的大小为 AParcos（） ，在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距AP HCAPB离如（）建立空间直角坐标系 Cxyz，2BHE点 的坐标为 23， ， 23A C BP z xy HE点 到平面 的距离为 CAPB235 (2008 福建文) 如图，在四棱锥中，侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD= ,底面2ABCD 为直角梯形，其中 BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC
12、=2,O 为 AD 中点。 （1）求证：PO平面 ABCD;（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；（3）求点 A 到平面 PCD 的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以 (1,0)(,1)CDPB63CDOS所以异面直线所成的角的余弦值为：(2)设平面 PCD 的法向量为 ，(,)nxyz(1,0)(1,0)PCD，所以 ；0nCPD令 x=1,则 y=z=1,所以 又(1,)(,)A则，点 A 到平面 PCD 的距离为： 23nd6(2008 福建理) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD底面
13、 ABCD，侧棱 PA=PD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD ,ABAD,AD=2AB=2BC =2,O 为 AD 中点.2（）求证：PO平面 ABCD；（）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.32AD6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.解法一：（）证明：在PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以 POAD ,又侧面 PAD底面 ABCD,平面 平面 ABCD=
14、AD, PAD平面 PAD，PO所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、BCAD ，AD =2AB=2BC,有 ODBC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OBDC.由（）知，POOB,PBO 为锐角，所以PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB 中，AB=1,AO=1,所以 OB ，2在 Rt POA 中，因为 AP ，AO 1，所以 OP1，2在 Rt PBO 中，tan PBO 22,arctn.PGPBOBC所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 .arctn（）假设存在点 Q，使
15、得它到平面 PCD 的距离为 .32设 QDx ，则 ，由（）得 CD=OB= ，12DCSx在 Rt POC 中， 2,PO所以 PC=CD=DP, 3()4CDA由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点 Q 满足题意，此时 .13QD解法二：()同解法一.()以 O 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直CDOP、 、角坐标系 O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以 101B （ ， ， ） ， （ ， ， ） .所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 ar
16、ccos ，63()假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ，2由()知 (1,0)(1,0).CPD设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).则 所以 即 ，,nA0,0z取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).设 由 ，得 解 y=-(,)1),(1,)QyCQy32CA13,2或 y= (舍去)，25此时 ，所以存在点 Q 满足题意，此时 .3,2AD 13D7、(2008 海南、宁夏理)如图，已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA=60。（1）求 DP 与 CC1 所成角的大小；（2）求 DP 与平面 A
17、A1D1D 所成角的大小。7解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 DAxyz则 ， (0)A， ， (0)C， ，连结 ， B在平面 中，延长 交 于 PBH设 ，(1)(Hm， ，由已知 ，60，由 cosDADA，可得 2解得 ，所以 21， ，（）因为 ，012cos2DHC，所以 45，即 与 所成的角为 P（）平面 的一个法向量是 A (01)， ，因为 ，20cos 21DHC，所以 6，可得 与平面 所成的角为 PA38. (2008 湖北文)如图，在直三棱柱 中，平面 侧面1ABC1ABC1.（）求证： ;（）若 ，直线 AC 与平面 所成的角为 ，1Aa二面角
18、,.2的 大 小 为 求 证 ：8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分 12 分）()证明：如右图，过点 A 在平面 A1ABB1 内作 ADA 1B 于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1,且平面 A1BC侧面 A1ABB1A 1B，得 AD平面A1BC.又 BC 平面 A1BC所以 ADBC.因为三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱,则 AA1底面 ABC,所以 AA1BC .又 AA1AD =A,从而 BC侧面 A1ABB1,又 AB 侧面 A1ABB1，故 ABBC.B1C1D1A1CDA BPA BCDPxyzH
