立体几何怪难题-理科.doc

1、1立体几何提升训练【例 1】如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ，ABCDP/,90ADBC垂直于底面 ， 分别PA NM,2为 的中点。 BC,(1)求证： ；（2）求 与平面 所成的角；MBA（3）求截面 的面积。DN解：（1）证明：因为 是 的中点， ， 所以 。PPBN由 底面 ，得 ， PACD又 ，即 ，90BA平面 ，所以 ，DPB平面 ， 。MN（2）连结 ， 因为 平面 ，即 平面 ，PADMN所以 是 与平面 所成的角， B在 中， ，在 中，RtA22BRtPB，故 ，在21中, ，又 ，tBDN2sinDNN0故 与平面 所成的角是 。 AM6（3）由 分别为 的中点

2、，得 ，且 ，,PBC, /MBC12B又 ，故 ，由（1）得 平面 ，又 平面 ，故/DB/NAPANP，A四边形 是直角梯形，在 中， ，MRtB2B，12P截面 的面积 。ADN1152()()24SNAD（1）以 点为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图所示（图略）xyz2AB CDA1B1 C1D1PEPD1C1B1A1DCBA由 ，得 ，2BCADP(0,)A1(,02)(,)(,)(0,2)PBMD因为 ，所以 。3(,0)1,M D（2）因为 所以 ，又 ，,(,) AP故 平面 ，即 是平面 的法向量。PBADN20PBN设 与平面 所成的角为 ，又 。(2,0)D则 ，|41

3、sin|co,BP又 ，故 ，即 与平面 所成的角是 。 0,26AMN6因此 与平面 所成的角为 ，BDAMN【例 2】如图，已知 是底面为正方形的长方体，1CBD， ，点 是 上的动点16014P1A（1）试判断不论点 在 上的任何位置，是否都有平面1垂直于平面 并证明你的结论；1BPA1D（2）当 为 的中点时，求异面直线 与 所成角的余弦值；1 1ABP（3）求 与平面 所成角的正切值的最大值1A解：（1）不论点 在 上的任何位置，都有平面 垂直于平面 .PD11AD证明如下：由题意知， ， 又 11B1A11平面 又 平面 平面 平面 1BA111BP11（2）解法一：过点 P 作

4、，垂足为 ，连结 （如图） ，则 ，1EDE1 1E是异面直线 与 所成的角11A在 中 1Rt 160130A3zyxPD1C1B1A1DCBA , ， 1112ABD11AED 又 2115E132P在 中， 1RtBP 13116cos42PEB异面异面直线 与 所成角的余弦值为 1A64解法二：以 为原点， 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示，则 ，11B 1(0)， ， ， ， ，(023)， ， (0)， ， (3)P， ， 1(023)A， ， 1(23P， ， 11cos|AB， 642异面异面直线 与 所成角的余弦值为 1P（3）由（1）知， 平面 ， 是 与平面

5、所成的角，1BA1D1BPA11AD且 112tanP当 最小时， 最大，这时 ，由1A1taBA11PAD13A得 ，即 与平面 所成角的正切值的最大值 123tanP11 2【例 3】已知 平面 ， ， 与 交于 点，ABC2PAACBE， ，BD（1）取 中点 ，求证: 平面 。F/F（2）求二面角 的余弦值。E解法 1:(1)联结 ， ， ，AC=ACD ， 为 中点， 为 中点，C ， 平面/P/BAC（2）联结 ， ，2在等边三角形 中,中线 ，4又 底面 ， ， ， PABCDPABPAED面平面 平面 。过 作 于 ，则 平面 ，EHHBD取 中点 ，联结 、 ，则等腰三角形

6、中， ，GG ， 平面 ， ，H 是二面角 的平面角E等腰直角三角形 中， ，等边三角形 中， ，PAB2AB3ERt 中， ， ，E377GH . 二面角 的余弦值为 。21COSAGHAPBE7解法 2：以 分别为 轴， 为原点，建立如图所示空间直角坐标P、 yz、 A系， ，2ABDBCD， ABC 是等边三角形，且 是 中点，E则 、 、 、 、 、(0)， ， (130)， ， (130)， ， ()， ， (02)P， ，2F， ，（1） ， ， 平面13(32)()2PBFE， ， 、 ， ， 12PBFE/PBAC（2）设平面 的法向量分别为 ，.、 1212(0)(1)nxy

7、nxy， ， 、 ， ，则 的夹角的补角就是二面角 的平面角；1n、 APBE ， ， ，(30)AB， ， (132)PB， ， (3)， ，由 及 得 ， ，1n2nE10)n， ， 21)n， -，12127cos|，二面角 的余弦值为 。APBE7PEFDCBAzyx5【例 4】如图，已知 AB平面 ACD，DE/AB，ACD 是正三角形， AD=DE=2AB，且 F 是 CD的中点。（I）求证： AF/平面 BCE；（II）求证：平面 BCE平面 CDE；（III）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。【解】 （I）解：取 CE 中点 P，连结 FP、BP，F 为 CD

8、 的中点，FP/DE，且 FP= 又 AB/DE，且 AB=.21DE.21DEAB/FP，且 AB=FP， ABPF 为平行四边形，AF/BP。又AF 平面 BCE，BP 平面 BCE， AF/平面 BCE。 （II）ACD 为正三角形，AFCD。AB平面 ACD，DE/AB ，DE 平面 ACD，又 AF 平面 ACD，DE AF 。又 AF CD，CDDE=D，AF平面 CDE。 又 BP/AF， BP平面 CDE。又BP 平面 BCE，平面 BCE平面 CDE。（III）由（II） ，以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y ，z 轴（如图） ，建立空间直角坐标系

9、 Fxyz.设 AC=2，则 C（0，1，0 ） ，).2,10(),3(EB ).1,0(,1.02,3, , nzzyxCnBzyx 则令即则 的 法 向 量为 平 面设显然， 为平面 ACD 的法向量。)1,0(m设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 .2|cos, n则，即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45。45【例 5】如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD， ， 90DABABCD，AD=CD=2AB=2，E，F 分别是 PC，CD 的中点（）证明：CD 平面 BEF；（）设 ，求 k 的值., 60且 二 面 角 为AkBBC解：（）证明：

10、 /90DFAFD矩 形PA平面 ABCD，AD CD.A B CDMS6 CD平面 BEF CDEFPCDFPE中 点是 中 点是由 三 垂 线 定 理 得（）连结 AC 且交 BF 于 H，可知 H 是 AC 中点，连结 EH,由 E 是 PC 中点, 得 EHPA, PA平面 ABCD. 得 EH平面 ABCD，且 EH . 12kPA作 HMBD 于 M，连结 EM，由三垂线定理可得 EMBD.故EMH 为二面角 EBDF 的平面角，故 EMH=600. RtHBMRtDBF,故 . 得 , 得 .BDHF5151HM在 RtEHM 中， tan60,E得 5213,.25k解法 2：

11、（）证明，以 A 为原点，建立如图空间直角坐标系 .xyz则 ， ，(0,1)B(2,0)C(2,0)D设 PA = k,则 ,P, 得()2E()F(,)(1,0)2kBE(,0)F有 0 .,CDBCDF则 平 面() (0),(,), (0,),PAkPkBAPk 平 面 的 一 个 法 向 量.0,12,1BDBE设平面 BDE 的一个法向量 ，(,),nxyznED且则 得 取0,nB20,k 21,(,).xnk且由 nAP|cos|cos,n7得 22 2151,5416. .45kkk得【例6】如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点，(1)设侧面ABC与底面B

12、CD所成角为，求tan.(2)设CE与底面BCD所成角为，求cos.(3)在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90，若存在，试确定 F 点位置；若不存在，说明理由。答案：解：(1)连 AF、DF，由ABC 及BDC 是正三角形，F 为 BC 中点，得AFBC，DFBC，AF=DFAFD 为二面角 A-BC-D 的平面角设棱长为 a，在ABC 中，AF= 23a，DF=在AFD 中， 14cos2a 2tg(2)法一：BC面 ADF，BC 面 BCD 面 ADF面 BCD在面 ADF 中，过 E 作 EGDF，则 EG面 BCD，连 CG，则ECG= 又 AF=DF，E 为 AD

13、 中点，故 EFAD在 RtDEF 中，EF= aa2)1()23(DE= a21，由 DEFG得 aG623在 RtCEG 中， 7cos,32sin则法二：设 AO面 BCD 于 O，则 O 为等边三角形，BCD 为中心，设 BC 中点为 M，CD 中点为N，以 O 为坐标原点，OM 所在直线为 x 轴，ON 所在直线为 y 轴，OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 0-xyz，设棱长为 2a，则 0(0,0,0)，A(0,0， 362a),C( 2a,a,0),D(-23a,0,0)，E(- 3a,0, 62a) OA0,0， a， CE(- 3a,-a, 6a)cos= 23624a

14、CE 与面 BCD 所成角 的余弦值为 cos= sin= 37(3)法一：设 F( 3a,y,0)，则 )362,(ayAFAEBCDyOxz8FED CBAPMFED CBAP又 0CEAF 03422ay，y=-2aF( 3a,-2a,0),即 F 在 CB 处长线上，且 FB= 21BC法二：设 bCDacB,，B、C、F 三点共线， cAF)1(又 EAF 0)(21)(a 3cb BCABcA213F 在 CB 延长线上，且 FB= 21BC【例 7】如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面PCDaA，ABCD且 ,若 、 分别为线段 、 的中2PAEFPB点(1)

15、 求证：直线 / 平面 ；PD(2) 求证：平面 平面 ； C(3) 求二面角 的正切值.B(1)证明：连结 ，在 中 /AEF且 平面 ， 平面PAEF平 面/(2)证明：因为面 面 平面 面 DBCPDABCDA所以， 平面 CPA又 ，所以 是等腰直角三角形，且 22P即 D，且 、 面CPCPABCD面A又 面 面 面(3)解：设 的中点为 ,连结 , ,则MEF由()知 面 , EFPD面 P是二面角 的平面角 中，BCRt124Aa12a9故所求二面角的正切为 24tan1aEFM2另解：如图,取 的中点 , 连结 , .ADOPF , .P侧面 底面 , , BCABCDA平 面

16、 平 面 ,O平 面而 分别为 的中点, ,又 是正方,FAD/OF形,故 . , , .2PP2aA以 为原点,直线 为 轴建立空间直线坐标系, 则有 , ,O,AFOxyz(0)2aA()F, , , .(0)2aD()2a(0)B()2aC 为 的中点, .EPC4E（1 ）易知平面 的法向量为 而 ,A(,)OF(,0)4aEF且 , /平面 .(0,)(,)02aaOF PAD(2) , ,PCD(,)(,02Ca ,从而 ,又 , ,APA ,而 , 平面 平面平 面 平 面 PDA(3)由(2)知平面 的法向量为 .PDC(0)2a设平面 的法向量为 . ,B(,)nxyz,(0

17、)Ba由 可得 ,令 ,则 ,0,n02azxy1x,1yz故 , ,(1) 6cos, 32nPAazyxO FED CBAP10即二面角 的余弦值为 ,二面角 的正切值为 .BPDC63BPDC2【例 8】如图,在梯形 中, , ,。AaA,平面 平面 ,四边形 是矩形, ,点 在线段60AFEFEAM上. 。EF(1)求证: 平面 ;。BC(2)当 为何值时 , 平面 ?证明你的结论;MBD(3)求二面角 的平面角的余弦值 .（）在梯形 中， ，AC/四边形 是等腰梯形，60,aDA且 123BC2 分9CAABC又 平面 平面 ，交线为 ，FED平面 4 分（）解法一、当 时， 平面 ， 5 分aM3/BDF在梯形 中，设 ，连接 ，则 6 分ABCNB2:1:NAC，而 ， 7 分aE3AEF:ME， 四边形 是平行四边形， 8 分NF/F/又 平面 ， 平面 平面 9 分BDBDFABD解法二：当 时， 平面 ，aEM3/由（）知，以点 为原点， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， CC,5 分则 ， ， ， ，)0,(),(aB)0,3(A)0,213(aD，,F,3E平面 ，AMDF平面 与 、 共面，/BABF也等价于存在实数 、 ，使 ， mnDnMM FECDBANDCA BEFMxDyzC OFBAE