1、1空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1 已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12，底面 ABCD 是直角梯形， A 为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值解析：如图 1，以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、 DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 C1（，1， 2） 、B（2，4，） ， ， 1(3)B， ， (01)， ，设 与 所成的角为 ，则 17cosCDBA二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2 如图 2，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中
2、，AB 侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB 1已知 ，BB 12，BC 1，BCC 1 求二面角 AEB 1A 1 的平面3角的正切值解析：如图 2，以 B 为原点，分别以 BB1、BA 所在直线为 y 轴、z 轴，过 B 点垂直于平面AB1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系由于 BC1，BB 12，AB ，BCC 1 ，3 在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，有 B（，） 、A（， ） 、B 1（，2，） 、 302c， ， 1302， ，设 且 ，Ea， ， 2由 EAEB1，得 ，10EAB即 332aa， ， ， ， ，2()0441302A即
3、 或 （舍去） 故 1a3E， ，由已知有 ， ，故二面角 AEB 1A 1 的平面角 的大小为向量1EAB1 与 的夹角1B因 ，1(02)， ， 32EA， ，故 ，即1cosBAtan三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3 如图 3，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（1）证明 AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值解析：（1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图 3 所示的空间直角坐标系设 AD2，则 A（1，） 、D （1，） 、 B（1，2，） 、V（， ） ， （，2，）
4、， （1， ） 3BVA由 ，得(0)3)0， ， ， ，ABVA3又 ABAD，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA、AD 都垂直， AB平面 VAD；（2）设 E 为 DV 的中点，则 1302E， ， ， ， 302A， ， B， ， (103)DV， ， ，(103)EBDVA， ， ， ， EBDV又 EADV，因此 AEB 是所求二面角的平面角 21cos7EAB，故所求二面角的余弦值为 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4 已知正四棱锥 VABCD 中，E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h（1）求DEB 的余弦值；（2）若 BEVC，
5、求 DEB 的余弦值解析：（1）如图 4，以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，Oy AB，则由 AB2a，OV h，有 B（a，a，） 、C（-a，a，） 、D（- a，-a，） 、V（0，0，h） 、 E， ， ， 32ahB， ， 32ahDE， ， ，26cos10EA，4即 ；26cos10ahDEB（2）因为 E 是 VC 的中点，又 BEVC，所以 ，即 ，VCA3()02ahhA， ， ， ， ， 20a2这时 ，即 261cos13hBED， 1cos3DEB五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定
6、对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等） ，利用自身对称性可建立空间直角坐标系例 5 已知两个正四棱锥 PABCD 与QABCD 的高都为 2，AB 4（1）证明：PQ平面 ABCD；（2）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；（3）求点 P 到平面 QAD 的距离（2）由题设知，ABCD 是正方形，且 ACBD 由（1） ，PQ平面 ABCD，故可分别以直线为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图 1） ，易得CADBQP，5， (20)(2)AQPB， 1cos3AQPB，所求异面直线所成的角是 1ar3（3）由（2）知，点 (02)(20)(4)DAP，设 n=（x，y，z）是平面 QAD 的一个法向量，则 得 取 x1，得QDA，n20xzy，点 P 到平面 QAD 的距离 (12)， d点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出第（3）问也可用“等体积法”求距离
