1、1立体几何练习题1.四棱锥 ABCDS中，底面 为平行四边形，侧面 SBC面 AD，已知45， 2， ， 3S.（1）设平面 与平面 S的交线为 l，求证： l/；（2）求证： ；（3）求直线 与面 AB所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ，AD=AC=1，O 为 AC的中点，PO 平面 ABCD，PO=2，M 为 PD 的中点。（1）证明：PB/平面 ACM；（2）证明：AD 平面 PAC（3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值。23.如图，四棱锥 中， ， ， 与PABCD90BAD2CADPB都是等边三角形AD（1）证明： 平
2、面 ；（2）求二面角 的平面角的余弦值4.如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ACAD底面 ABCD 为梯形，ABDC，ABBC，PA=AB=BC=3，点 E 在棱 PB 上，且 PE=2EB（）求证：平面 PAB平面 PCB；（）求证：PD平面 EAC；（）求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值5.如图，已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面于直线 ，平面ABCDABPEAB平面 ，且 ， ， ，且PE21D/E（1）设点 为棱 中点，在面 内是否存在点 ，使得 平面 ？MCNMCD若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角 的余弦值.A36.如图，
3、在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，平面 A1BC侧面 A1ABB1，且 AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ，求锐二面角 AA 1CB 的大小7.在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（1）求证 AB面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小8.如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且BAD= ，对角线 AC 与 BD 相交于 O，OF平面 ABCD，BC=CE=DE=2EF=2（） 求证：EFBC；（）求面 AOF 与平面 BCE
4、F 所成锐二面角的正弦值49.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面 ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N 分别为 PC、PB 的中点（）求证：PBDM；（）求 BD 与平面 ADMN 所成的角10.如图，在等腰梯形 中， ， ， ，四边形ABCD/ 1ADCB60ACACFE为矩形，平面 平面 ， .1F（1）求证： 平面 ；E（2）点 在线段 上运动，设平面 与平面 二面角的平面角为 ，MMABC(90)试求 的取值范围.cos5立体几何试卷答案（2）证明：连接 AC， 452ABCBC，由余弦定理得 2， 6 分取 BC中点 G，连接 ,
5、S，则 G., ,S面 .A 8 分（）如图，以射线 OA 为 x轴，以射线 OB 为 y轴，以射线 OS 为 z轴，以 O为原点，建立空间直角坐标系 yzO,B y SCA D62、试题解析：（1）证明： 为 AC 的中点，即 O 为 BD 的中点，且 M 为 PD 的中点，又 平面 ACM， 平面 ACM,所以 PB/平面 ACM。（2）证明：因为 ，AD=AC，所以 ，所以 ,又 PO 平面 ABCD，所以所以 AD 平面 PAC。（3）取 OD 的中点为 N，因为 所以 MN 平面 ABCD，所以 为直线 AM 与平面 ABCD 所成角。因为 AD=AC=1， ，所以所以 又 所以73
6、.（1）证明见解析；（2） 3试题解析：（1）证明：过 作 平面 于 ，连 POABCDOA依题意 ，则 又 为 ，故 为 的中点PABDRtBD 面 ，面 面 在梯形 中， ，O 22C4.【解答】（）证明：PA底面 ABCD，BC底面 ABCD，PABC又 ABBC，PAAB=A，BC平面 PAB又 BC平面 PCB，平面 PAB平面 PCB（）证明：PCAD，在梯形 ABCD 中，由 ABBC，AB=BC，得BAC= ，DCA=BAC= ，又 ACAD，故DAC 为等腰直角三角形，DC= AC= （ AB）=2AB连接 BD，交 AC 于点 M，则 = =2连接 EM，在BPD 中， =
7、 =2，PDEM，又 PD/平面 EAC，EM平面 EAC，PD平面 EAC8（）解：以 A 为坐标原点，AB，AP 所在直线分别为 y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）设 =（x，y，1）为平面 AEC 的一个法向量，则 ， ， =（3，3，0）， =（0，2，1）， 解得 x= ，y= ， =（ ， ，1）设 =（x，y，1）为平面 PBC 的一个法向量，则 ， ，又 =（3，0，0）， =（0，3，3）， ，解得 x=0，y=1， =（0，1，1）（取 PB 中点为 F，连接 AF 可证
8、为平面 PBC 的一个法向量）cos ， = |= ，平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 .注：以其他方式建系的参照给分5.（1）详见解析；（2） .23试题分析：（1）连接 ， 交于点 ，连接 ，证明 平面 ，从而ACBDNMNABCD即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.MN试题解析：（1）连接 ， 交于点 ，连接 ，则 平面 ，9 为 中点， 为 中点， 为 的中位线， ，MPDNBMNPDB/MNPB又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，ACPEACEACAD，B6【 解答】（本小题满分 14 分）（1）证明：如右图，取 A1B 的中点
9、 D，连接 AD，因 AA1=AB，则 ADA 1B 由平面 A1BC侧面 A1ABB1，且平面 A1BC侧面 A1ABB1=A1B。得 AD平面 A1BC，又 BC平面 A1BC，所以 ADBC因为三棱柱 ABCA 1B1C1是直三棱柱，则 AA1底面 ABC，所以 AA1BC又 AA1AD=A，从而 BC侧面 A1ABB1，又 AB侧面 A1ABB1，故 ABBC（2）解：连接 CD，由（1）可知 AD平面 A1BC，则 CD 是 AC 在平面 A1BC 内的射影ACD 即为直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，则 在等腰直角A 1AB 中，AA 1=AB=2，且点 D 是 A1B 中点
10、 ，且 ， 过点 A 作 AEA 1C 于点 E，连 DE由（1）知 AD平面 A1BC，则 ADA 1C，且 AEAD=AAED 即为二面角 AA 1CB 的一个平面角，且直角A 1AC 中：10又 ， ，且二面角 AA 1CB 为锐二面角 ，即二面角 AA 1CB 的大小为 7.【解答】证明：（1）由于面 VAD 是正三角形，设 AD 的中点为 E，则 VEAD，而面 VAD底面 ABCD，则 VEAB又面 ABCD 是正方形，则 ABAD，故 AB面 VAD（2）由 AB面 VAD，则点 B 在平面 VAD 内的射影是 A，设 VD 的中点为 F，连 AF，BF 由VAD 是正，则 AFVD，由三垂线定理知 BFVD，故AFB 是面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的平面角设正方形 ABCD 的边长为 a，则在 RtABF 中，AB=a，AF= a，tanAFB=故面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小为 8. 【解答】（本小题满分 12 分）证明：（）四边形 ABCD 为菱形ADBC，且 BC面 ADEF，AD面 ADEF，BC面 ADEF，且面 ADEF面 BCEF=EF，EFBC 解：（）FO面 ABCD，FOAO，FOOB又OBAO，以 O 为坐标原点，OA，OB，OF 分别为 x 轴，
