1、1EBCD AP 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形 ABCD 中， ，正方形 ADEF6BC所在平面与平面 ABCD 垂直，G，H 分别是 DF，BE 的中点（）求证：GH平面 CDE；（）若 ，求四棱锥 F-ABCD 的体积2,4CDB练习：1、如下图所示：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点 D 是 AB 的中点。求证：AC 1平面 CDB1；2. 如图， 是正四棱柱侧棱长为 1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点。 （1）求证： 平面11DCBA /1BD；（2）求三棱锥 的体积. DEC13、如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB
2、是正方形，侧棱 PD底面 ABC， 4,3P， E是 PC的中点。（1）证明： /E平 面 ；（2）求 以 为轴旋转所围成的几何体体积。EA1 B1C1D1D CBA_H _G_D _A_B_CE F2GPAB CDFEABC DEF例 2、 如图, 在矩形 中, , 分别为线段 的中点, 平面 .求证: ABCD2PQABCDEPABCD平面 ；（利用平行四边形）AQEP练习：如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，E、F 分别是 AB、PD 的中点。求证：AF平面 PCE；如图，已知 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点， ，M，N 分别是 AB，PC 中点。求证：ACD平 面P/A
3、DMN和BC 如图，已知 AB平面 ACD，DE/AB ，ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB，且 F 是 CD 的中点.求证：AF/ 平面 BCE；、已知正方体 ABCD- ， 是底 对角线的交点.求证： 面 1DCBAOAB/1OC1ABD1ODBAC1B1A1C3ABCDEF比例关系例题 3、P 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M、N 分别是 PB、BC 上的点，且 ,求证：MN/平面NCBPMPCD(利用比例关系 )练习：如图，四边形 ABCD为正方形， EA平面 BCD， /EFA， =4,2,=1BEF.（）若点 在线段M上，且满足 , 求证： /M平面 ；AC14面
4、面平行-线面平行例题 4、如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF ， BCF= CEF= 90,AD= 3,EF=2。 （ ）求证：平面 ABE/平面 CDF（II）求证：AE/平面 DCF；（利用面面平行-线面平行）练习：1、如图所示，四棱锥 PABCD中，底面 A为正方形， PD平面 ABC， 2PD， E， F，G分别为 PC、 、 的中点（1）求证：； EFG面/；（2）求三棱锥 的体积 DA CBEFM41A1C1BEFGACBEBACNDFM2、如图,在直三棱柱 1ABC中, 09AB，EFG分别是 1,的中点，且 1GC. ()求证： /EF平 面
5、； 3、如图所示,正方形 ADEF与梯形 BC所在的平面互相垂直, ,/,2ADCBDAB. 在 EC上找一点 M,使得 /B平面 ,请确定 M点的位置,并给出证明4、 （2012 山东文）如图，几何体 EABCD是四棱锥， ABD为正三角形， ,CBDE.()求证： BED；()若 120C， M 为线段 AE 的中点，求证： 平面 .5例题： 如图，已知四棱锥 ABCDP。 若底面 AB为平行四 边形， E为 PC的中点，在 DE上取点 F，过AP和点 F的平面与 平面 E的交线为 FG，求证： FP/。证明：连 AC 与 BD，设交点为 O，连 OE。练习：1、如图，在四棱锥 中，侧面
6、是正三角形，且与底面 垂直，底面 是边长为 2 的菱PABCDPAABCDABCD形， ， 是 中点，过 A、N、D 三点的平面交 于 求证： ；60BADNPM/N2、 （2012 浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中，ADBC，ADAB，AB= 2。AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。（1）证明：EFA 1D1；3.如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD 平面 BCE，BE EC.（1） 求证：平面 AEC 平面 ABE；(面面垂直性质 )DA BCPMN6（2） 点 F 在
7、BE 上，若 DE/平面 ACF，求 的值。 （线面平行的性质 ）BEF21例、如图，在正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点.1ABCDGABD1C求证：平面 平面 .1EFG练习：如图所示，在正方体 ABCD- 中，E、F、G、H 分别是 BC、CC 1、C 1D1、A 1A 的中点.求证：1DCBA（1）EG平面 BB1D1D；（2）平面 BDF平面 B1D1H.例题：已知在正方体 ABCD- 中，E,F 分别是 上的点，点 P 在正方体外，平面 PEF 与正方1DCBA11AD和体相交于 AC，求证： /平 面EFA BCDA1 B1C1D17ACBPACBDPMFEA BCDG
8、菱形的对角线互相垂直：例题。已知 E，F 分别是正方形 ABCD 边 AD，AB 的中点， EF 交 AC 于 M，GC 垂直于 ABCD 所在平面。 求证：EF平面 GMC练习：如图 ABCD- 是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD 平面 （2）1DCBA AC1 1CD等腰三角形底边的中线垂直底边例 1、 如图，在三棱锥 中， ， ，PABC290ACB ，AP求证： ；C练习：1、在三棱锥 A-BCD 中，AB=AC,BD=DC,求证： DBCA BCDA BCD8圆的直径所对的圆周角为直角例题 3、如图 AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上异于 A、B 的任意一点， 平面 ABC
9、， （1）图中共有多少个直角P三角形？（2）若 ,且 AH 与 PC 交于 H，求证：AH 平面 PBC. PAH利用勾股定理例 4、在长方体 中，底面 是边长为 1 的正方形，侧棱11DCBAABC，E 是侧棱 的中点。求证： 平面 ； 21AE1D证明： 为长方体，练习：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， ,求2,1,PDACP证：（1） 平面 ABCD PA（2）求四棱锥 P-ABCD 的体积.间接法，用线面垂直的性质定理（ ）blbl,例题：如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ，60DAB，证明： ;ABCDPAB底 面,2BPA练习
10、 1：如图，在直三棱柱 中，AC=3， BC=4，AB=5，1AB，点 D 是 AB 的中点。 （）求证： ；4A 1CBD1 C1B1A1ED CBAB CDPAPACBHOa2a BD CAp9练习2： 如图，四边形 为矩形， 平面 ， 为 上的点，且 平面 . 求证：ABCDABEFCBFACE；EA证明：因为 ， ，平 面 E平 面例 1 如图， AB 是 O 的直径， PA 垂直 O 所在的平面， C 是圆上不同于 A， B 的任意一点，求证：平面 PAC平面 PBC. 练习 1：如图，棱柱 1ABC的侧面 1BC是菱形， 1BA 2、如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，
11、点 在 上， 。 1ABCEF1ABCD1BC1AB求证：（1）EF平面 ABC；（2）平面 平面 .1AD3、如图， ABCD 是正方形，SA平面 ABCD，BKSC 于 K，连结 DK，求证（1）平面 SBC平面 KBDsACKDA BCDEF10例 1：如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD, O 为 AD 中点.，求证:PO平面ABCD；例 2：如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边三角形，且PABCDAB06DaPAD平面 垂直于底面 PAD（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；GGP（2）求证： ；练习：1、如图 AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上异于 A、B 的任意一点， 平面 ABC， （1）图中共有多少个直P角三角形？（2）若 ,且 AH 与 PC 交于 H，求证：平面 PAC 平面 PBC.(3) AH 平面 PBC PAH2、在四棱锥 中，平面 PAD平面 ABCD，ABCDPAB=AD，BAD=60，E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证：平面 BEF平面 PAD3、如图，正方形 ABCD 所在平面与以 AB 为直径的半圆 O 所在平面 ABEF 互相垂直，P 为半圆周上异于 A，B 两点的任一点，求证： 直线 AP平面 PBC。平面 PBC平面 APC 1A BHO FEA CDPC
