1、用心 爱心 专心 1专题六 立体几何解题方法技巧一、内容提 要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：二、主要解题方法：（一）位置关系1、两条异面直线相互垂直证明方法： 证明两条异面直线所成角为 90； 证明两条异面直线的方向量相互垂直 1 22、直线和平面相互平行证明方法： 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 证明这条直线的方向量和 1 2这个平面内的一个向量相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂 3直。3、直线和平面垂直证明方法： 证明直线和平面内两条相交直线都垂直， 证明直线的方向量与这个平面 1 2内不共线
2、的两个向量都垂直； 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 34、平面和平面相互垂直证明方法： 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90； 证明一个平面内的一条直线 1 2垂直于另外一个平面； 证明两个平面的法向量相互垂直。 3（二）求距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法： 如果知道两条 异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的 1求法也可以用向量来帮助解决，求线段 AB 的长度，可以利用提 要 主 要 内 容 重 点 内 容位置关
3、 系两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、两个平面相互垂直两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂直、两个平面相互垂直距 离两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离两条异面直线的距离、点到平面的距离立体几何角 度两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角用心 爱心 专心 2来帮助解决，但是前提条件是我们要知道22 )(NBMAB的模和每两个向量所成的角。 利用公式 （其中, 2 |nABdA、B 分别为两条异面直线上的一点， 为这两条异面直线的法向量）n2、
4、点到平面的距离求法： “一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 等体积法。 向量法，利用公 1 2 3式 （其中 A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点， 这个平面的法向量）|nd n（三）求角1、两条异面直线所成的角求法： 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面 直线所成的角，然后 1通过解三角形去求得； 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到 2异面直线所成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的是钝角，,0(,0要注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法： “一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 向量法，先求直线的方向量于 1 2平
5、面的法向量所成的角 ，那么所要求的角为 或3、平面与平面所成的角求法： “一找二证三求” ，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角 1是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。 通过射影面积来求 2（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面原射 影Scos的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cos，注意到我们要求的角为 或 ） ； 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所 3成的二面角的平面角为 或 。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那
6、么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，用心 爱心 专心 3传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三 角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求” ，解题的过程中一定要出现这样一句话， “ 是我们所要求的角” 、 “线段 AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出 cosx，则这两条异面直线所成的角为a rccos|x|4、在求直线
7、与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要 或 ，若求出的角为锐2角，就用 ，若求出的钝角，就用 。25、求平面与平面所成角的时，若用第 、 种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝 2 3角还是锐 角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。【专题训练】1、已知三棱锥 PABC 中 PB底面 ABC， ，90BCAPB=BC=CA=a，E 是 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 3PF=FA.（1）求证：平面 PACPBC；（2）求平面 BEF 与底面 ABC 所成角（用一个反三角函数值表示）.2、如图，四棱锥 PABCD
8、的底面是正方形,PA底面 ABCD，PA=AD=2，点 M、N 分别在棱PD、PC 上，且 PC平面 AMN.（1）求证：AMPD；（2）求二面角 PAMN 的大小；（3）求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小.用心 爱心 专心 43、如图，平面 ABCD平面 ABEF，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且 G 是,21aADFEF 的中点，（1）求证平面 AGC平面 BGC；（2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值.（3）求二面角 BACG 的大小.4、如图，在正方体 中， 是棱 的中 点， 为平面1DCBAE1AHEDB内一点， 。)0(,21mHC（1）证明 平面 ；E（2
9、）求 与平面 所成的角；B（3）若正方体的棱长为 ，求三棱锥 的体积。aEBAACBDHzEA1D1B1C1yx用心 爱心 专心 5在 ，在aHOBCMRt105,中 aEHORt21,.中tanE即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 5arctn若利用面积射影法，指出HDB 是EFB 在底面 ABC 上的射影，并计算出其面积7 分 计算出 216aS射 影 216SEFBcosEFB射 影即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 6arcos2、 （1）证明：ABCD 是正方形，CDAD，PA底面 ABCD，PACD.CD平面 PAD AM 平面 PAD，CDAM.P
10、C平面 AMN，PCAM.AM平面 PCD.AMPD. （2）解：AM平面 PCD（已证）.AMPM，AMNM.用心 爱心 专心 6PMN 为二 面角 P-AM-N 的平面角 .PN平面 AMN，PNNM.在直角PCD 中，CD=2，PD=2 ，PC=2 .23PA=AD，AMPD，M 为 PD 的中点，PM= PD=12由 RtPMNRtPCD，得 .PCMDN.3arcos.32)cos( PCMN即二面角 PAMN 的大小为 .arcs3、 （1）证明：正方形 ABCD 面 ABCD面 ABEF 且 交于 AB，ABCCB面 ABEF AG，GB 面 ABEF， CBAG，CBBG又 A
11、D=2a，AF= a，ABEF 是矩形，G 是 EF 的中点，AG=BG= ，AB=2 a， AB2=AG2+BG2，AGBG CGBG=B AG平面 CBG 而 AG2面 AGC， 故平面 AGC平面 BGC （2）解：如图，由（）知面 AGC面 BGC，且交于 GC，在平面 BGC 内作 BHGC，垂足为 H，则 BH平面 AGC， BGH 是 GB 与平面 AGC 所成的角在 RtCBG 中 又 BG= ，aBGCB322 a2 36sinG（3）由（）知，BH面 AGC 作 BOAC，垂足为 O，连结 HO，则 HOAC， 为二面角 BACG的平面角 在OHaBACRt2,中用心 爱心 专心 7在 RtBOH 中， 36arcsin36sinBOHBOH即二面角 BACG 的大小为 arcsin
