1、第一讲 微分中值定理教学目的 使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理, 拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题教学重点 使学生深刻理解微分中值定理的实质教学难点 拉格朗日中值定理的证明教学学时 2 学时教学过程 上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法学习的目的在于应用, 这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础 微分中值定理包括 : 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图 1.设图 1 中曲线弧 AB是函数 )(xfy),ba的图形这是一
2、条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于 X 轴的切线，即 )(xf在 ),ba内处处可导且两端点处的纵坐标相等，即 f可以发现在曲线弧AB的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线如果记曲线弧 A的最高点 C的横坐标为 ，则 0f若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（）定理罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间 ba,上连续；(2) 在开区间 ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即bfa，则在 ,内至少存在一点 ，使得 0f为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马 Fermat定理费马定理 设函数 xf在点 0的某邻域 0()Ux内有定义，
3、并且在 0x处可导，如果对任意的 x，有0fx0ff或，则 0xf分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义不妨设 0()xU时， 0xf于是，对于00()x，有 fx，从而当 0x时，xff；当 0时，00xf由于函数 f在 0处可导，上述两式的左端当0x时极限皆存在，因此由极限的 保号性知 0lim000 xffxff， x所以， 0xf类似地可证明 0()U时， 0xf的情形通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)费马定理告诉我们，若函数在 0x点可导，且函数在 0x点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点处的导数一定为零，即 0xf由图 1
4、知，函数 f在 处取得了局部的最大值因此，根据费马定理不难证明罗尔定理罗尔定理的证明 由于 xf在 ba,上连续，所以xf在 ba,上必定取得它的最大值 M和最小值 m这样，只有两种可能的情形：(1) m此时对于任意的 bax,，必有 Mxf故对任意的 bax,，有 0xf因此，ba,内任一点皆可作为我们找的 (2) m因为 bfa，所以 M和 m中至少有一个不等于 af不妨设 M，则在 ba,内必有一点 ，使得 f又因为对于任意的 x,，有 fx，且 ()存在故由费马定理知， 0f类似可证afm的情形罗尔定理成立 例 1 不求出函数 321xxf 的导数，说明方程 0fx有几个实根，并指出它
5、们所在的区间 分析 讨论方程 0xf的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知， 实际上是方程 ()0fx的根而讨论这类问题的基本思路是，在函数 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点 ，使得 0f 即为方程 0xf的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程0xf至多有两个实根而由函数 xf的表达式知，321f因此， 1,2和 ,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程 0xf的一个实根解 因为 xf在 2,1和 3,上连续，在 2,1和 3,内可导，且 1230f，所以由罗尔定理知，
6、在 ,内至少存在一点 1，使得 1f，在 3,2内至少存在一点2，使得 02f 和 2都是方程 ()0fx的实根又由代数学基本定理知，方程 至多有两个实根，所以方程 0xf必有且只有两个实根，它们分别位于 2,1和 3,内小结 利用函数的性质讨论 0xf的根(也称为xf的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法二、拉格朗日中值定理罗尔定理中 bfa这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把 bfa这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个
7、问题，我们先从几何直观入手，见图 2设图 2 中曲线弧 AB是函数 )(xfy),ba的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即fafb不难发现在曲线弧 AB上至少有一点 c，使曲线在点处的切线平行于弦 若记 c点的横坐标为 ，则曲线在 c点处切线的斜率为 f而弦 AB的斜率为abf因此fabfff或若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日 Lagrne中值定理拉格朗日中值定理 若函数 xf满足(1)在闭区间 ba,上连续；(2)在开区间 ,内可导，则在 ba,内至少存在一点 ，使得 abff fabf或 （）从图
8、1 可以看到，在罗尔定理中，由于 bfa，弦 AB是平行于 x轴的，因此点 c处的切线不仅平行于x轴，实质上也是平行于弦 AB的由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理但在拉格朗日中值定理中，函数 xf不一定具备bfa这个条件，为此我们设想构造一个与 xf有密切联系的函数 x(称为辅助函数)，使 满足条件ba及罗尔定理的另外两个条件，并对 x应用罗尔定理，然后再把对 x所得的结论转化到 f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路
9、，那么怎样去构造辅助函数 x呢？若记图 2 中弦 AB的方程为 xLy，那么根据所构造的辅助函数 x需要满足的条件，通过对图 2 的观察，我们不难发现 xLf这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数为什么呢？首先，若我们记 xLfx，则函数 x与 f有着密切的联系；第二，由于曲线弧 AB与弦 在 BA,两点相交，因此，0afa， 0bLfb，即 ba；第三，由于函数 xfy和 xy在 a,上都连续,在 ,内都可导，因此 在 ba,上满足罗尔定理的条件至于对x在 ba,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明拉格朗日中值的证明 弦 AB的直线方程为axbfafxL因此，函数
10、abfafx, (2)且 abfxf对函数 x在 ba,上应用罗尔定理知，在 ba,内至少存在一点 ，使得 0，即 abff，fabf定理得证由上述证明可知，函数 x正是我们所需要的那个辅助函数现在回过头来看一看辅助函数 xLfx的几何意义是什么？在图 2 的闭区间 ba,上任取一点 x，并过 x作与纵轴平行的直线，交弧 AB于 M，交弦 AB于 N，则有向线段 NM的值恰好是我们所构造的辅助函数 xLfx其中 xf为 点的纵坐标， xL为 点的纵坐标几点说明：(1) 显然，公式 1对于 ab也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式(2) 设 x为区间 ba,上一点， x为该区间内的另一点 0或
11、，则公式（）可写成 xfxxf 10 3(3) 若记 f为 y，则 f，于是 式又可写成 xfy 10 4我们知道，若函数 xf在 处可微，则ydox这时可以用函数 fy的微分 xfdy来近似地代替函数增量 y，并且所产生的误差xdy是比 高阶的无穷小但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而 4式给出了自变量取得有限增量 x不 一 定 很 小 时，函数增量的微分精确表达式因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，4式也称为有限增量公式拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理利用它可实现用导数来研究函数的变化作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题我们知道，如果函数 xf在某一区间上是一个常数，则 xf在该区间上的导数恒为零那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题定理 若函数 xf在区间 I上的导数恒为零，则xf在区间 I上是一个常数证 在区间 I上任取两点 21,x 21，应用 1式即得 1212xfxff 2x由题设知 0，所以 0f，即 1xff因为 21,x是 I上任意两点，所以 x在区间 I上是一个
